2 圆的认识(二) 本课时主要使学生认识到圆的轴对称性,与其他平面图形相比,圆具有很好的对称性:它是一个轴对称图形,任意一条直径所在的直线都是它的对称轴。教材通过引导学生开展折纸活动,探索圆的轴对称性以及同一个圆里半径与直径的关系,通过与其他图形对称性的比较体会圆的对称性所具有的独特性。首先,通过折纸活动使学生认识到圆的对称轴必须经过圆心,直径所在的直线就是对称轴,因此圆有无数条对称轴。接着,梳理已经学过的轴对称图形,与圆形进行比较,深刻认识圆的独特性:只有圆有无数条对称轴。通过折纸活动找出圆心,认识到两条直径的交点就是圆心,并通过找圆心的方法培养学生的普遍化思维策略。最后,通过找组合图形的对称轴体会正多边形的对称轴一定是圆的对称轴,这也是组合图形的对称轴,进一步体会圆的完美的对称性。
1.通过折纸活动探索并发现圆是轴对称图形,有无数条对称轴,体会圆的对称性。
2.在验证圆是轴对称图形和折纸找圆心的活动中,发展学生的空间观念。
3.通过操作、讨论、比较等活动,使学生感受到合作的乐趣,培养学生的探究能力和兴趣,激发学生喜爱数学的情感。
【重点】 认识圆是轴对称图形及区别于其他轴对称图形的特点。
【难点】 通过折纸活动找出圆的圆心,从而培养学生普遍化的思维策略。
【教师准备】 多媒体课件、圆形纸片、正方形纸片、平行四边形纸片。
【学生准备】 圆形纸片、正方形纸片、平行四边形纸片。
1.任意画一个圆,并回答下面的问题。
(1)在所画的圆中画出三条直径。
(2)圆有多少条直径? (3)每条直径有什么特点? 2.画出下面图形的对称轴。
【参考答案】 1.(1) (2)圆有无数条直径。 (3)每条直径的长度相等。
2. 方法一 师:刚刚我们画出了轴对称图形的对称轴,那么什么样的图形是轴对称图形?它们有什么特点?圆是轴对称图形吗? 学生充分表达自己的看法。
预设 生1:长方形是轴对称图形。
生2:我们穿的衣服是轴对称图形。
生3:这些图形如果一个图形沿着一条直线对折,两侧的图形能够完全重合。
师:(教师手持圆形卡片)那么我们新认识的伙伴“圆”是不是轴对称图形呢?它有什么不同于其他轴对称图形的特性?这节课我们共同来探究“圆的对称性”。
板书课题:圆的认识(二)。
[设计意图] 在观察和教师的引导中学生对轴对称图形的知识进行回顾,为新课的学习 做好必要的知识准备。同时,学生通过感观能够知道圆是轴对称图形,教师提出激励性问题“圆有什么不同于其他轴对称图形的特性”进行设疑,与本节新知紧密相关,顺利将学生带入新知的学习。
方法二 课前活动。
教师出示一个圆,你能找到这个圆的圆心在哪吗?你有什么好办法吗? 学生自由发表看法。
师:同学们的办法可行吗?能说出其中的道理吗? 学生思考,尝试表达找圆心方法的依据。
师:刚才有的同学谈到了把圆对折,这样的办法是否正确呢? 今天这节课,我们就来探究圆的一种重要特性——对称性。
揭示课题:圆的认识(二)。
[设计意图] 通过欣赏和列举生活中的轴对称图形,帮助学生回顾轴对称图形的特点,由此引出圆也是轴对称图形,从而顺利进入新课的学习。
师:请同学们拿出课前准备好的圆形纸片,我们来共同探究,圆是否为轴对称图形,怎样找到圆的对称轴,圆的对称轴有什么特点。
一、折纸活动体会圆的对称性 1.初步认识圆是轴对称图形。
(1)学生独立尝试,对折圆形纸片。
(2)集体汇报。
师:通过折叠圆形纸片,同学们有什么发现? 生:圆形纸片对折后两边完全重合,说明圆是轴对称图形。
师:其他同学得出的也是这样的结论吗?请把手中对折后完全重合的纸片举起来展示给同学们看。
(学生展示纸片,教师巡视,确保每位学生都能操作成功,认识到圆是轴对称图形) 2.认识圆的对称轴。
师:请同学们将圆形纸片打开,你发现了什么? 预设 生1:折痕就是圆的对称轴。
生2:直径就是圆的对称轴。
师:那么你能找到多少条对称轴呢?试着折一折。
学生再次折叠纸片,操作探究。学生汇报时,可能会找到不同条数的对称轴,当有学生发现有无数条对称轴时,教师进行提问: 师:你是怎样发现圆有无数条对称轴的呢? 预设 生1:我对折了很多次。
生2:因为圆有无数条直径,所以就有无数条对称轴。
3.小结。
圆的每条直径所在直线都是圆的对称轴,所以圆有无数条对称轴。
[设计意图] 利用多次折纸的活动让学生直接去探索、发现,在体会交流中,认识圆的对称性及对称轴的特点,充分培养学生自我探究能力,并能够体验到成功的乐趣。
二、对比中认识圆的对称性 师:我们对轴对称图形并不陌生,以前学过的正方形、长方形、等腰三角形、等腰梯形(PPT课件出示这些轴对称图形)都是轴对称图形,那么我们今天学的圆与这些图形有哪些不同之处呢? (1)动手操作找出对称轴。
师:请同学们拿出课前准备的正方形、长方形、等腰三角形、平行四边形和圆形,动手折一折,这些图形有多少条对称轴呢? (学生操作,教师进行巡视,适时指导) 以个别提问的方式进行汇报。要求汇报的同学要把自己折过的图形进行展示,粘贴在黑板上,同时其他学生检验自己是否找对。
师:(PPT课件出示教材第5页第2板块的表格内容)这些图形分别有多少条对称轴呢? 预设 生1:正方形有4条对称轴。
师:正方形有4条对称轴,请把你的作品展示在黑板上吧! 生2:长方形有2条对称轴。
师:真不错,把你的作品也展示出来吧! 生3:等腰三角形有1条对称轴。
(粘贴到黑板上) 生4:平行四边形不是轴对称图形,它没有对称轴。
师:请同学们将折叠的平行四边形举起来,我们一起折一折试一试。
学生和老师一起尝试折叠,发现无论怎样折叠平行四边形的两边都不会重合。
师:平行四边形有没有对称轴呢? 生5:平行四边形没有对称轴。
生6:圆形有无数条对称轴。
(把学生折叠过的圆形张贴在黑板上) (2)对比圆的对称轴特点。
师:你发现圆的对称轴的数量与其他图形有什么不同呢? 预设 生:只有圆有无数条对称轴。
(3)小结:只有圆有无数条对称轴。
[设计意图] 动手操作是解决数学问题的一个有效手段,学生通过折纸活动,形象直观地发现圆的对称性区别于其他图形的特点——圆有无数条对称轴。本环节知识比较简单,为了鼓励学生参与的热情,将他们的折纸展示出来,同时也是为了让其他学生与之对比,进行检验。
三、找圆心,认识圆的对称性 师:(教师出示一张圆形纸片)这个圆形纸片老师并没有用圆规画,我是用盘子的边缘描画出来的,因此我不知道圆心在哪里,你能想办法帮我找到吗? (1)思考:圆的圆心与直径(对称轴)有什么关系?怎样找到圆的圆心? 学生思考后,个别学生回答,只要说得有理,教师都给予鼓励。
(2)验证。
动手折一折验证自己的猜想是否正确。(让学生参照教材第5页板块3折一折)。
方法一:把圆对折,然后在此基础上再对折。
打开后,两条对称轴的交点就是圆的圆心。
方法二:任意折出两条直径。
这两条直径的交点就是圆的圆心。
归纳:圆心在直径(对称轴)上,因此两条直径(对称轴)的交点一定是圆的圆心。
[设计意图] 在第一种方法中,学生利用经验很容易找到圆心,如果让学生说一说为什么“对折再对折”就可以找到圆心学生很难说清楚,教学中通过折纸观察思考,找到答案。通过两种折纸找圆心的活动,使学生进一步认识到圆的对称性的另一个特点,圆的对称轴一定经过圆心。
四、含有圆的组合图形的对称性 (1)探究同一中心的组合图形的对称性。
(PPT课件出示教材第5页最下面的四幅图) 师:同学们观察这几个图形有什么共同的特点。
预设 生1:都含有圆形。
生2:有的圆形在正方形和正六边形的里面,有的在外面。
师:这些都是含有圆的组合图形,同学们能想办法画出这些图形的对称轴吗? 学生尝试画对称轴(在教材第5页画),教师巡视指导。
学生展示汇报。
师:老师发现同学们都画对了,找得非常准确。谁能告诉同学们,你是怎样找到的对称轴? 生:正方形、正六边形的对称轴就是组合图形的对称轴。
师:圆有无数条对称轴,那么这些组合图形也有无数条对称轴吗? (PPT课件出示教材第5页最下面的四幅图,显示出对称轴) 预设 生1:正方形有4条对称轴,所以前两个图形的对称轴就有4条。
生2:正六边形有6条对称轴,所以后两个图形的对称轴就有6条。
(2)拓展延伸。
师:这四个图形中,正方形和正六边形的所有对称轴都是组合图形的对称轴。那么这种说法适合所有组合图形吗? (PPT课件出示下面的图形) 师:同学们想一想,这两个图形的对称轴应该怎样画呢? 预设 生1:第一个图形应该竖着画。
(教师利用PPT课件演示) 生2:第二个图形应该横着画。
(教师利用PPT课件演示) 师:第一个图形还有4条对称轴,第二个图形还有6条对称轴吗? 学生观察思考。
师:还可以说正方形和正六边形的所有对称轴都是组合图形的对称轴吗? 生:不能。
师:那么什么情况下才能说正方形和正六边形的所有对称轴都是组合图形的对称轴呢? (这个问题对于学生来说可能有难度,因此教师再次将教材中图形和举例的图形利用课件出示给学生,引导学生进行观察、对比) 师:(PPT课件出示)请同学们再次观察这几个图形有什么不同的地方。
预设 生1:它们没有完全重合。
生2:它们的中心点不同。
师:上面的组合图形中圆和其他图形是同一个中心,只有这样的图形,正方形和正六边形的所有对称轴都是组合图形的对称轴。
(再次出示下面的图形) 师:像这样的图形,正方形或正六边形的其中一条对称轴是组合图形的对称轴。
(3)小结。
当圆形的圆心和正多边形的中心重合时,正多边形的所有对称轴都是组合图形的对称轴。
[设计意图] 本环节对教材知识进行适当的拓展,通过多次设疑、解疑的活动使学生逐步认识到含有圆的组合图形的对称轴的特点,对于不同的图形要采取不同的方法。但由于圆有无数条对称轴,找组合图形的对称轴时首先要找其他图形的对称轴,再观察是否为组合图形的对称轴。
1.教材第6页第1题。
2.教材第6页第2题。
【参考答案】 1.如图所示。 2.(1)25 (2)略 这节课你们有什么收获? 学生反馈汇报: 预设 生1:这节课我们知道了圆是轴对称图形。
生2:圆有无数条对称轴,圆的对称轴都要通过圆心,每条直径所在的直线都是圆的对称轴。
生3:圆和正多边形组成的组合图形,如果圆心和正多边形的中心重合,那么正多边形的所有对称轴都是组合图形的对称轴。
生4:通过这节课我感受到圆形中蕴含很多知识,等待我们去探索。
[设计意图] 通过课堂小结回顾本节课所学新知,对知识要点进行整理和归纳,使学生再次明确圆的对称性的独特性,这为下节课学习利用圆设计美丽的图案做好准备。
作业1 教材第6页第3,4题。
【参考答案】 作业1:3.(1)右 4 右 6 (2)下 3 左 2 (3)平移方法有很多种。如:①从位置A向右平移8个方格,再向下平移2个方格。②从位置A向下平移2个方格,再向右平移8个方格等。 4.发现:正方形和等边三角形绕着点A旋转一定的角度后与原图形重合,圆旋转任何角度后都与原图形重合。
圆的认识(二) 中心重合时,正多边形所有对称轴都是组合图形的对称轴 本节课通过折纸找对称轴,与正方形、长方形、三角形等其他常见图形的对比、找圆心、探究组合图形的对称性等多方面的内容对圆的对称性进行深入认识,使学生体会到与其他平面图形相比,圆具有完美的对称性:它是一个轴对称图形,任意一条直径所在的直线都是它的对称轴。另外,本节课每个环节都尽量放手让学生自己发现来突破重难点,通过折一折、画一画、作比较等多种探究活动,培养学生解决问题的能力和空间观念。
(1)各个环节之间的衔接做得不够严密,知识的整体性不够,知识点分散,有些零散。每个环节的知识重点学生掌握得较好,但并没有体会出前后知识之间关联性。
(2)组合图形的对称性,拓展的知识较少,仅限于探究找对称轴的方法及对称轴的数量问 题,没有与找圆的圆心相联系进行拓展。
(1)对于教材的第一个环节初步认识圆的对称性部分,内容比较简单,引导学生通过折一折、画一画等方式,让学生独立探究,教师做简单小结即可。
(2)在探究组合图形的对称性教学中,增设“圆心和正多边形的中心重合”的组合图形,使学生掌握找圆心方法方面的知识,使本节课的知识有更好的连贯性。
画出下列各图形的对称轴。
[名师点拨] 图(1)和图(3)是由大小不同的两个非同心圆组成的,只有一条对称轴;图(2)虽然不是同心圆,但这两个圆大小相等,它有两条对称轴;图(4)是两个同心圆,它有无数条对称轴。
[解答] 如下图所示。
【知识拓展】 如果一个图形由大小不相同的两个圆组成,当这两个圆是同心圆时,这样的图形有无数条对称轴,当这两个圆不是同心圆时,这样的图形只有一条对称轴,而且这条对称轴就是这两个圆圆心所在的直线。如果这两个圆大小相等且不是同心圆,那么这样的图形就有2条对称轴。
各国对圆的认识 圆形,是一个看起来简单,实际上是很奇妙的形状。
中国古代人最早是从太阳,从阴历十五的月亮得到圆的概念的。一万八千年前的山顶洞 人曾经在兽牙、砾石和石珠上钻孔,那些孔有的就很圆。以后到了陶器时代,许多陶器都是圆的,圆的陶器是将泥土放在一个转盘上制成的。当人们开始纺线,又制出了圆形的石纺锤或陶纺锤。古代人还发现圆的木头滚着走比较省劲,后来他们在搬运重物的时候,就把几段圆木垫在大树、大石头下面滚着走,这样当然比扛着走省劲得多。
大约在6000年前,美索不达米亚人做出了世界上第一个轮子——圆的木盘。大约在4000多年前,人们将圆的木盘固定在木架下,这就成了最初的车子。
古代埃及人就认为:圆,是神赐给人的神圣图形。
一直到两千多年前我国的墨子才给圆下了一个定义:“一中同长也”。意思是说:圆有一个圆心,圆心到圆周的长都相等。这个定义比古希腊数学家欧几里得(约前330~约前275年)给圆下定义要早100年。
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