专题三 含参数函数不等式恒成立问题 不等式问题是数学中的重要内容之一，而含参数函数不等式恒成立问题又是重点中的难点．这类问题既含参数又含变量，与多个知识有效交汇，有利于考查学生的综合解题能力，检验学生思维的灵活性与创造性，这正符合高考强调能力立意，强调数学思想与方法的命题思想，因此恒成立问题成为近年来全国各地高考数学试题的一个热点． 模块1 整理方法 提升能力 处理含参数函数不等式（一个未知数）恒成立问题，从方法上，可考虑分离参数法或猜想最值法（必要条件法）．如果使用分离参数法，则猜想是没有作用的，对于难一点的分离参数法，可能要使用多次求导或洛必达法则．如果使用猜想法，则后续有3种可能：一是猜想没有任何作用；
二是利用猜想减少分类讨论；
三是在猜想的基础上强化，从而得到答案．从改造的形式上，解答题优先选择一平一曲，可利用分离参数法转化为一平一曲两个函数，也可以把函数化归为一边，考虑函数的图象与轴的交点情况（本质上也是一平一曲）． 洛必达法则 如果当（也可以是）时，两个函数和都趋向于零或都趋向于无穷大，那么极限可能存在，也可能不存在．如果存在，其极限值也不尽相同．我们称这类极限为型或型不定式极限．对于这类极限，一般要用洛必达法则来求． 定理1：若函数和满足条件：
（1）． （2）和在的某个去心邻域内可导，且． （3）存在或为无穷大． 则有． 定理2：若函数和满足条件：
（1）． （2）和在的某个去心邻域内可导，且． （3）存在或为无穷大． 则有． 在定理1和定理2中，将分子、分母分别求导再求极限的方法称为洛必达法则． 使用洛必达法则时需要注意：
（1）必须是型或型不定式极限． （2）若还是型或型不定式极限，且函数和仍满足定理中和所满足的条件，则可继续使用洛必达法则，即． （3）若无法判定的极限状态，或能判定它的极限振荡而不存在，则洛必达法则失效，此时，需要用其它方法计算． （4）可以把定理中的换为，，，，此时只要把定理中的条件作相应的修改，定理仍然成立． 例1 已知函数（）． （1）求在上的最小值；
（2）若对恒成立，求正数的最大值． 【解析】（1）定义域为，． ①当时，，函数在为增函数，所以． ②当时，由可得，由可得，所以在上递增，在上递减．于是在上的最小值为或． （i）当，即时，． （ii）当，即时，． 综上所述，当时，；
当时，． （2）令，则对恒成立对恒成立． 法1：（分离参数法）当，不等式恒成立，于是对恒成立对恒成立． 令，则，令，则，所以在上递增，于是，即，所以在上递增． 由洛必达法则，可得，于是，所以正数的最大值为． 法2：（不猜想直接用最值法）构造函数，则． ①当，即时，，所以函数在上递增，所以． ②当，即时，由可得，所以函数在上递减，于是在上，，不合题意． 综上所述，正数的最大值为． 法3：（先猜想并将猜想强化）由常用不等式（）可得，即．当时，式子恒成立，当，有恒成立，而，所以． 下面证明可以取到，即证明不等式对恒成立．构造函数（），则，所以函数在上递增，所以，所以不等式对恒成立，所以正数的最大值为． 法4：（先猜想并将猜想强化）对恒成立，因为所以，即． 下同法3． 法5：（先猜想并将猜想强化）当，不等式恒成立，于是对恒成立对恒成立．由洛必达法则，可得，于是． 下同法3． 【点评】法1（分离参数法）把恒成立问题转化为求的最小值，法2（最值法）把恒成立问题转化为求的最小值．由此可见最值法与分离参数法本质上是相通的，其本质都是把不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，其区别在于所求的函数中是否含有参数． 法3、法4和法5都是先求出必要条件，然后将必要条件进行强化，需要解题的敏感度和判断力．如果我们将这个必要条件与法2的最值法进行结合，可减少法2的分类讨论． 例2 设函数． （1）求的单调区间；
（2）若，为整数，且当时，，求的最大值． 【解析】（1）． ①当时，在上恒成立，所以在上递增． ②当时，由可得，由可得．所以在上递减，在上递增． （2）当时，，所以，即在上恒成立． 法1：（分离参数法）在上恒成立在上恒成立．令，则，令，有在上恒成立，所以在上递增（也可由（1）可知，函数在上递增）．而，，所以在上有唯一根，所以当时，当时，于是在上递减，在上递增，所以在上的最小值为，因为，所以，于是，所以，所以的最大值为． 法2：（不猜想直接用最值法）令，则，令可得． ①当，即时，有在上恒成立，于是在上递增，从而在上有，于是在上恒成立． ②当，即时（因为是整数，所以），可知当时，，当时，，于是在上的最小值是．令，则在上恒成立，所以在上单调递减．而，．所以当时，有在上恒成立，当时，在上不恒成立． 综上所述，的最大值为． 法3：（先猜想并将猜想强化）因为在上恒成立，所以当时，该式子也成立，于是，即．下证的最大值为． 令，则，由可得，由可得，所以在上递减，在上递增．所以，于是的最大值为． 【点评】由于是整数，所以先猜想再将猜想强化是优先采用的解题方法．如果将是整数这个条件去掉，则得到的必要条件既不能强化又不能减少分类讨论，此时猜想将没有任何作用，只能用法1的分离参数法和法2的最值法进行求解． 例3 设函数． （1）若，求的单调区间；
（2）若当时，，求的取值范围． 【解析】（1）当时，，．由可得，由可得．所以的递增区间是，递减区间是． （2）法1：（分离参数法）在上恒成立在上恒成立． 当时，式子显然成立；
当时，分离参数可得在上恒成立．令，则，令，可得 ，，所以在上递增，于是，即，所以在上递增，于是，所以，所以在上递增． 由洛必达法则，可得，所以在上有，所以． 法2：（不猜想直接用最值法），． ①当，即时，有，所以在上递增，所以，所以，所以在上递增，所以． ②当，即时，由可得时，于是在上递减，所以，所以，所以在上递减，于是，于是不恒成立． 综上所述，的取值范围是． 法3：（先猜想并将猜想强化）当时，在上恒成立． 当时，在上恒成立在上恒成立．由洛必达法则，可得，所以． ，，所以在上递增，所以，所以，所以在上递增，所以． 【点评】对于恒成立问题，最值法与分离参数法是两种最常用的方法．如果分离后的函数容易求最值，则选用分离参数法，否则选用最值法．最值法主要考查学生分类讨论的思想，一般遵循“构造函数——分类讨论”两部曲来展开．一些稍难的恒成立问题，如果用分离参数法来处理，往往需要多次求导和使用洛必达法则．本题中，法2的最值法比法1的分离参数法要简单，这是因为处理 的最小值要比处理的最小值要容易． 猜想最值法的模式是解决恒成立问题的重要模式，猜想的一般方法有：特殊值代入，不等式放缩，洛必达法则，端点效应． 模块2 练习巩固 整合提升 练习1：已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求证：当时，；
（3）设实数使得对恒成立，求的最大值． 【解析】（1），因为，所以，于是切线方程为． 【证明】（2）构造函数，．因为，所以在上递增，所以．于是当时，． 【解析】（3）法1：（不猜想直接用最值法）构造函数，，则． ①当时，，所以在上递增，所以． ②当时，，所以在上递增，所以． ③当时，由可得，于是在上递减，所以，于是在上不恒成立． 综上所述，的最大值为． 法2：（先猜想并将猜想强化）由（2）可知，猜想的最大值为．下面证明当 时，在上不恒成立． 构造函数，，则．当时，由可得，于是在上递减，所以，于是在上不恒成立． 练习2：设函数． （1）证明：在单调递减，在单调递增；
（2）若对于任意、，都有，求的取值范围． 【证明】（1），令，则，所以在上递增，而，所以当时，，当时，，所以在单调递减，在单调递增． 【解析】（2）由（1）可知，在上递减，在上递增，所以，于是对于任意、，都有，即．构造函数，则，由可得，由可得，所以在上递减，在上递增．又因为，，所以的取值范围是． 练习3：已知函数． （1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）若当时，，求的取值范围． 【解析】（1）的定义域为．当时，，，所以，．于是曲线在处的切线方程为． （2）法1：（分离参数法）当时，．令，则，令，则，于是在上递增，所以，于是，从而在上递增． 由洛必达法则，可得，于是．于是的取值范围是． 法2：（不猜想直接用最值法）． ①当，即时，，所以在上递增，所以． ②当时，令，则，所以（即）在上递增，于是． （i）若，即时，，于是在上递增，于是． （ii）若，即时，存在，使得当时，，于是在上递减，所以． 综上所述，的取值范围是． 法3：（变形后不猜想直接用最值法）当时，．令，则，记，则是以为对称轴，开口方向向上的抛物线． ①当，即时，，所以，于是在上递增，因此． ②当，即时，的判别式为，于是有两根，不妨设为、，且．由韦达定理可得，于是，所以，于是，当时，，所以，于是在上递减，即． 综上所述，的取值范围是． 法4：（通过猜想减少分类讨论）当时，．因为，所以，即． ，记，则是以为对称轴，开口方向向上的抛物线．当时，，所以，于是在上递增，因此．所以的取值范围是． 法5：（通过猜想减少分类讨论）当时，．由洛必达法则，可得，于是． 下同法4． 练习4：已知函数，曲线在点处的切线方程为． （1）求、的值；
（2）如果当，且时，，求的取值范围． 【解析】（1），因为，所以，于是 ． （2）法1：（分离参数法）由可得，令（且）． ，令，则，令，则，令，则． 当时，在上递增，于是，即，所以在上递减，于是，即，所以在上递增，所以，于是，所以在上递减． 当时，在上递增，于是，即，所以在上递增，于是，即，所以在上递增，所以，于是，所以在上递增． 由洛必达法则，可得，同理，，所以当且时，有，于是． 法2：（不猜想直接用最值法）由（1）知，所以，考虑函数，，则，此时有． ，令，当时，其判别式为． ①当时，，所以，于是，于是在上递减，而，所以当时，，于是；
当时， ，于是．所以当，且时，，即恒成立． ②当时，是开口方向向下，以为对称轴，与轴有两个交点的二次函数．因为，所以当时，，所以，于是在上递增，所以．而时，，所以，于是不恒成立． ③当时，，所以在上是增函数，所以当时，，而，所以，于是不恒成立． ④当时，是开口方向向上，以为对称轴，与轴有两个交点的二次函数．因为，所以在上恒成立，所以在上是增函数，以下同③，于是不恒成立． ⑤当时，是开口方向向上，以为对称轴，与轴最多有一个交点的二次函数，所以在上恒成立，所以在上是增函数，以下同③，于是不恒成立． 综上所述，的取值范围为． 法3：（通过猜想减少分类讨论）由（1）知，所以．因为，所以． 考虑函数，，则，此时有． ，令，这是开口方向向下的抛物线，其判别式为． ①当时，，所以，于是，于是在上递减，而，所以当时，，于是；
当时，，于是．所以当，且时，，即恒成立． ②当时，是开口方向向下，以为对称轴，与轴有两个交点的二次函数．因为，所以当时，，所以，于是在上递增，所以．而时，，所以，于是不恒成立． 综上所述，的取值范围为． 法4：（通过猜想减少分类讨论）由可得，由洛必达法则，可得，于是，所以． 下同法2，只需讨论法2的①②③三种情况即可． 法5：（通过猜想减少分类讨论）由可得，由洛必达法则，可得，所以． 下同法2，只需讨论法2的①即可． 【点评】法1的分离参数法，利用了高阶导数以及洛必达法则，减少了解题的技巧性．法2的最值法构造了函数，只需由在上恒成立，求出的取值范围即可．但的表达式比较复杂，其复杂的根源在于前面带有，直接求导只会让式子变得更复杂，因此我们提取，让变得“纯粹”一点．的正负取决于与的正负，由此可找到的3个界：0、1、2，从而对的范围作出不重不漏的划分． 法3、法4和法5都是猜想最值法，分别通过特殊值代入和洛必达法则得到相应的必要条件，有效缩小了参数的取值范围，此时只需讨论法2分类当中的若干情况即可，减少了分类讨论，从而降低题目的难度．
