圆的基本性质证明与计算 命题点1 垂径定理 例1、如图，CD是⊙O的直径，AB是弦(不是直径)，AB⊥CD于点E，则下列结论正确的是( ) A．AE>BE B.＝ C．∠D＝∠AEC D．△ADE∽△CBE 命题点2 圆周角定理 例2、如图，点O为优弧所在圆的圆心，∠AOC＝108°，点D在AB的延长线上，BD＝BC，则∠D______． 重难点1 垂径定理及其应用 例3、已知AB是半径为5的⊙O的直径，E是AB上一点，且BE＝2. (1)如图1，过点E作直线CD⊥AB，交⊙O于C，D两点，则CD＝_______；
图1 图2 图3 图4 探究：如图2，连接AD，过点O作OF⊥AD于点F，则OF＝_____；
(2)过点E作直线CD交⊙O于C，D两点． ①若∠AED＝30°，如图3，则CD＝__________；
②若∠AED＝45°，如图4，则CD＝___________． 【思路点拨】 由于CD是⊙O的弦，因此利用圆心到弦的距离(有时需先作弦心距)，再利用垂径定理，结合勾股定理，求出弦的一半，再求弦． 【变式训练1】如图，点A，B，C，D都在半径为2的⊙O上．若OA⊥BC，∠CDA＝30°，则弦BC的长为( ) A．4 B．2 C. D．2 【变式训练2】 【分类讨论思想】已知⊙O的半径为10 cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝16 cm，CD＝12 cm，则弦AB和CD之间的距离是__________________ 1．垂径定理两个条件是过圆心、垂直于弦的直线，三个结论是平分弦，平分弦所对的优弧与劣弧． 2．圆中有关弦的证明与计算，通过作弦心距，利用垂径定理，可把与圆相关的三个量，即圆的半径，圆中一条弦的一半，弦心距构成一个直角三角形，从而利用勾股定理，实现求解． 3．事实上，过点E任作一条弦，只要确定弦与AB的交角，就可以利用垂径定理和解直角三角形求得这条弦长． 重难点2 圆周角定理及其推论 例3、已知⊙O是△ABC的外接圆，且半径为4. (1)如图1，若∠A＝30°，求BC的长；
(2)如图2，若∠A＝45°：
①求BC的长；
②若点C是的中点，求AB的长；
(3)如图3，若∠A＝135°，求BC的长． 图1 图2 图3 【变式训练3】 如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上的一点，∠OAC＝32°，则∠B的度数是( ) A．58° B．60° C．64° D．68° 【变式训练4】 将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A，B的读数分别为88°，30°，则∠ACB的大小为( ) A．15° B．28° C．29° D．34° 1．在圆中由已知角求未知角，同(等)弧所对的圆心角和圆周角的关系是一个重要途径，其关键是找到同一条弧． 2．弦的求解可以通过连接圆心与弦的两个端点，构建等腰三角形来解决． 3．一条弦所对的两种圆周角互补，即圆内接四边形的对角互补． 在半径已知的圆内接三角形中，若已知三角形一内角，可以求得此角所对的边． 注意同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，避免把数量关系弄颠倒． 重难点3 圆内接四边形 例4、如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形．延长AB与DC相交于点G，AO⊥CD，垂足为E，连接BD，∠GBC＝50°，则∠DBC的度数为( ) A．50° B．60° C．80° D．90° 【思路点拨】 延长AE交⊙O于点M，由垂径定理可得＝2，所以∠CBD＝2∠EAD.由圆内接四边形的对角互补，可推得∠ADE＝∠GBC，而∠ADE与∠EAD互余，由此得解． 【变式训练5】如图所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD＝120°，则∠BOD的大小是( ) A．80° B．120° C．100° D．90° 【变式训练6】 如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点．若∠A＝n°，则∠DCE＝____________ 1．找圆内角(圆周角，圆心角)和圆外角(顶角在圆外，两边也在圆外或顶点在圆上，一边在圆内，另一边在圆外)的数量关系时，常常会用到圆内接四边形的对角互补和三角形外角的性质． 2．在同圆或等圆中，如果一条弧等于另一条弧的两倍，则较大弧所对的圆周角是较小弧所对圆周角的两倍．Ｋ 能力提升 1．如图，在⊙O中，如果＝2，那么( ) A．AB＝AC B．AB＝2AC C．AB＜2AC D．AB＞2AC 2．如图，在半径为4的⊙O中，弦AB∥OC，∠BOC＝30°，则AB的长为( ) A．2 B．2 C．4 D．4 3．如图，在平面直角坐标系中，⊙O′经过原点O，并且分别与x轴、y轴交于点B，C，分别作O′E⊥OC于点E，O′D⊥OB于点D.若OB＝8，OC＝6，则⊙O′的半径为( ) A．7 B．6 C．5 D．4 4．如图，在⊙O中，弦BC与半径OA相交于点D，连接AB，OC.若∠A＝60°，∠ADC＝85°，则∠C的度数是( ) A．25° B．27.5° C．30° D．35° 5．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，∠BCA＝65°，作CD∥AB，并与⊙O相交于点D，连接BD，则∠DBC的大小为( ) A．15° B．35° C．25° D．45° 6．如图，分别延长圆内接四边形ABDE的两组对边，延长线相交于点F，C.若∠F＝27°，∠A＝53°，则∠C的度数为( ) A．30° B．43° C．47° D．53° 7． 如图，小华为了求出一个圆盘的半径，他用所学的知识，将一宽度为2 cm的刻度尺的一边与圆盘相切，另一边与圆盘边缘两个交点处的读数分别是“4”和“16”(单位：cm)，请你帮小华算出圆盘的半径是________cm. 8．如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平分线交AD于点E. (1)求证：DE＝DB；
(2)若∠BAC＝90°，BD＝4，求△ABC外接圆的半径． 9．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝5，BC＝10，连接AC，BD，以BD为直径的圆交AC于点E.若DE＝3，则AD的长为( ) A．5 B．4 C．3 D．2 提示：过点D作DF⊥AC于点F，利用△ADF∽△CAB，△DEF∽△DBA可求解． 10．如图，AB是半圆的直径，AC是一条弦，D是的中点，DE⊥AB于点E，且DE交AC于点F，DB交AC于点G.若＝，则＝_____________． 11．如图1是小明制作的一副弓箭，点A，D分别是弓臂BAC与弓弦BC的中点，弓弦BC＝60 cm.沿AD方向拉动弓弦的过程中，假设弓臂BAC始终保持圆弧形，弓弦不伸长．如图2，当弓箭从自然状态的点D拉到点D1时，有AD1＝30 cm，∠B1D1C1＝120°. (1)图2中，弓臂两端B1，C1的距离为30cm；
(2)如图3，将弓箭继续拉到点D2，使弓臂B2AC2为半圆，则D1D2的长为(10－10)cm. 12．如图所示，AB为⊙O的直径，CD为弦，且CD⊥AB，垂足为H. (1)如果⊙O的半径为4，CD＝4，求∠BAC的度数；
(2)若点E为的中点，连接OE，CE.求证：CE平分∠OCD；
(3)在(1)的条件下，圆周上到直线AC的距离为3的点有多少个？并说明理由． 参考答案 命题点1 垂径定理 例1、如图，CD是⊙O的直径，AB是弦(不是直径)，AB⊥CD于点E，则下列结论正确的是( ) A．AE>BE B.＝ C．∠D＝∠AEC D．△ADE∽△CBE 【答案】：D 命题点2 圆周角定理 例2、如图，点O为优弧所在圆的圆心，∠AOC＝108°，点D在AB的延长线上，BD＝BC，则∠D______． 【答案】：27° 重难点1 垂径定理及其应用 例3、已知AB是半径为5的⊙O的直径，E是AB上一点，且BE＝2. (1)如图1，过点E作直线CD⊥AB，交⊙O于C，D两点，则CD＝_______；
图1 图2 图3 图4 探究：如图2，连接AD，过点O作OF⊥AD于点F，则OF＝_____；
(2)过点E作直线CD交⊙O于C，D两点． ①若∠AED＝30°，如图3，则CD＝__________；
②若∠AED＝45°，如图4，则CD＝___________． 【答案】：（1）8 , （2） 【思路点拨】 由于CD是⊙O的弦，因此利用圆心到弦的距离(有时需先作弦心距)，再利用垂径定理，结合勾股定理，求出弦的一半，再求弦． 【变式训练1】如图，点A，B，C，D都在半径为2的⊙O上．若OA⊥BC，∠CDA＝30°，则弦BC的长为( ) A．4 B．2 C. D．2 【答案】：D 【变式训练2】 【分类讨论思想】已知⊙O的半径为10 cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝16 cm，CD＝12 cm，则弦AB和CD之间的距离是__________________ 【答案】：2cm或14cm 1．垂径定理两个条件是过圆心、垂直于弦的直线，三个结论是平分弦，平分弦所对的优弧与劣弧． 2．圆中有关弦的证明与计算，通过作弦心距，利用垂径定理，可把与圆相关的三个量，即圆的半径，圆中一条弦的一半，弦心距构成一个直角三角形，从而利用勾股定理，实现求解． 3．事实上，过点E任作一条弦，只要确定弦与AB的交角，就可以利用垂径定理和解直角三角形求得这条弦长． 重难点2 圆周角定理及其推论 例3、已知⊙O是△ABC的外接圆，且半径为4. (1)如图1，若∠A＝30°，求BC的长；
(2)如图2，若∠A＝45°：
①求BC的长；
②若点C是的中点，求AB的长；
(3)如图3，若∠A＝135°，求BC的长． 图1 图2 图3 【答案】（1）4（2）4.,8（3）4. 【点拨】 连接OB，OC，利用同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，构建可解的等腰三角形求解． 【解析】 解：(1)连接OB，OC. ∵∠BOC＝2∠A＝60°，OB＝OC，∴△OBC是等边三角形． ∴BC＝OB＝4. (2)①连接OB，OC. ∵∠BOC＝2∠A＝90°，OB＝OC，∴△OBC是等腰直角三角形． ∵OB＝OC＝4，∴BC＝4. ②∵点C是的中点，∴∠ABC＝∠A＝45°. ∴∠ACB＝90°.∴AB是⊙O的直径．∴AB＝8. (3)在优弧上任取一点D，连接BD，CD，连接BO，CO. ∵∠A＝135°，∴∠D＝45°.∴∠BOC＝2∠D＝90°. ∵OB＝OC＝4，∴BC＝4. 【变式训练3】 如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上的一点，∠OAC＝32°，则∠B的度数是( ) A．58° B．60° C．64° D．68° 【答案】：A 【变式训练4】 将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A，B的读数分别为88°，30°，则∠ACB的大小为( ) A．15° B．28° C．29° D．34° 【答案】C 1．在圆中由已知角求未知角，同(等)弧所对的圆心角和圆周角的关系是一个重要途径，其关键是找到同一条弧． 2．弦的求解可以通过连接圆心与弦的两个端点，构建等腰三角形来解决． 3．一条弦所对的两种圆周角互补，即圆内接四边形的对角互补． 在半径已知的圆内接三角形中，若已知三角形一内角，可以求得此角所对的边． 注意同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，避免把数量关系弄颠倒． 重难点3 圆内接四边形 例4、如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形．延长AB与DC相交于点G，AO⊥CD，垂足为E，连接BD，∠GBC＝50°，则∠DBC的度数为( ) A．50° B．60° C．80° D．90° 【答案】C 【思路点拨】 延长AE交⊙O于点M，由垂径定理可得＝2，所以∠CBD＝2∠EAD.由圆内接四边形的对角互补，可推得∠ADE＝∠GBC，而∠ADE与∠EAD互余，由此得解． 【变式训练5】如图所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD＝120°，则∠BOD的大小是( ) A．80° B．120° C．100° D．90° 【答案】B 【变式训练6】 如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点．若∠A＝n°，则∠DCE＝____________ 【答案】n° 1．找圆内角(圆周角，圆心角)和圆外角(顶角在圆外，两边也在圆外或顶点在圆上，一边在圆内，另一边在圆外)的数量关系时，常常会用到圆内接四边形的对角互补和三角形外角的性质． 2．在同圆或等圆中，如果一条弧等于另一条弧的两倍，则较大弧所对的圆周角是较小弧所对圆周角的两倍．Ｋ 能力提升 1．如图，在⊙O中，如果＝2，那么( ) A．AB＝AC B．AB＝2AC C．AB＜2AC D．AB＞2AC 【答案】C 2．如图，在半径为4的⊙O中，弦AB∥OC，∠BOC＝30°，则AB的长为( ) A．2 B．2 C．4 D．4 【答案】D 3．如图，在平面直角坐标系中，⊙O′经过原点O，并且分别与x轴、y轴交于点B，C，分别作O′E ⊥OC于点E，O′D⊥OB于点D.若OB＝8，OC＝6，则⊙O′的半径为( ) A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】C 4．如图，在⊙O中，弦BC与半径OA相交于点D，连接AB，OC.若∠A＝60°，∠ADC＝85°，则∠C的度数是( ) A．25° B．27.5° C．30° D．35° 【答案】D 5．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，∠BCA＝65°，作CD∥AB，并与⊙O相交于点D，连接BD，则∠DBC的大小为( ) A．15° B．35° C．25° D．45° 【答案】A 6．如图，分别延长圆内接四边形ABDE的两组对边，延长线相交于点F，C.若∠F＝27°，∠A＝53°，则∠C的度数为( ) A．30° B．43° C．47° D．53° 【答案】C 8． 如图，小华为了求出一个圆盘的半径，他用所学的知识，将一宽度为2 cm的刻度尺的一边与圆盘相切，另一边与圆盘边缘两个交点处的读数分别是“4”和“16”(单位：cm)，请你帮小华算出圆盘的半径是________cm. 【答案】10cm 8．如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平分线交AD于点E. (1)求证：DE＝DB；
(2)若∠BAC＝90°，BD＝4，求△ABC外接圆的半径． 【答案】：(1)证明：∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABC， ∴∠BAE＝∠CAD，∠ABE＝∠CBE. ∴＝. ∴∠DBC＝∠BAE. ∵∠DBE＝∠CBE＋∠DBC，∠DEB＝∠ABE＋∠BAE, ∴∠DBE＝∠DEB. ∴DE＝DB. (2)连接CD. ∵＝，∴CD＝BD＝4. ∵∠BAC＝90°，∴BC是直径． ∴∠BDC＝90°. ∴BC＝＝4. ∴△ABC外接圆的半径为2. 9．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝5，BC＝10，连接AC，BD，以BD为直径的圆交AC于点E.若DE＝3，则AD的长为( ) A．5 B．4 C．3 D．2 提示：过点D作DF⊥AC于点F，利用△ADF∽△CAB，△DEF∽△DBA可求解． 【答案】D 10．如图，AB是半圆的直径，AC是一条弦，D是的中点，DE⊥AB于点E，且DE交AC于点F，DB交AC于点G.若＝，则＝_____________． 【答案】 11．如图1是小明制作的一副弓箭，点A，D分别是弓臂BAC与弓弦BC的中点，弓弦BC＝60 cm.沿AD方向拉动弓弦的过程中，假设弓臂BAC始终保持圆弧形，弓弦不伸长．如图2，当弓箭从自然状态的点D拉到点D1时，有AD1＝30 cm，∠B1D1C1＝120°. (1)图2中，弓臂两端B1，C1的距离为30cm；
(2)如图3，将弓箭继续拉到点D2，使弓臂B2AC2为半圆，则D1D2的长为(10－10)cm. 【答案】, 12．如图所示，AB为⊙O的直径，CD为弦，且CD⊥AB，垂足为H. (1)如果⊙O的半径为4，CD＝4，求∠BAC的度数；
(2)若点E为的中点，连接OE，CE.求证：CE平分∠OCD；
(3)在(1)的条件下，圆周上到直线AC的距离为3的点有多少个？并说明理由． 【答案】：(1)∵AB为⊙O的直径，CD⊥AB，∴CH＝CD＝2. 在Rt△COH中，sin∠COH＝＝，∴∠COH＝60°. ∴∠BAC＝∠COH＝30°. (2)证明：∵点E是的中点，∴OE⊥AB. 又∵CD⊥AB，∴OE∥CD.∴∠ECD＝∠OEC. 又∵OE＝OC，∴∠OEC＝∠OCE. ∴∠OCE＝∠DCE，即CE平分∠OCD. (3)圆周上到直线AC的距离为3的点有2个． 因为上的点到直线AC的最大距离为2，上的点到直线AC的最大距离为6，2＜3＜6，根据圆的轴对称性，到直线AC的距离为3的点有2个．
