浅议样本空间的“分割”及其应用

摘 要：样本空间的分割又称为完备事件群，是本科“概率论与数理统计”课程中提出的一个概念，在高中概率教学中并没有引进，但是它对于解释离散型随机变量的一些概念与性质起着至关重要的作用，因此教师可以将完备事件群在高中概率教学与解题中进行简单应用。

关键词：完备事件群；全概率公式；贝叶斯公式

中图分类号：G63 文献标识码：A 文章编号：1673-9132（2018）01-0033-02

DOI：10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2018.01.019

完备事件群，又称为对样本空间的划分，是本科“概率论与数理统计”课程中的一个基本概念，它的定义并不复杂，非常好理解，一般出现在“条件概率”与“事件的独立性”两个知识点的学习之间，而这两部分内容都包含在高中理科数学选修2-3中，但是由于高中阶段对概率的学习比较粗浅，对于条件概率这一部分的内容并没有进行更深入地学习，没有学习全概率公式和贝叶斯公式，因此对“样本空间的划分”这一概念没有提及，这对学生学习概率知识造成了一些困惑。因此，我在教学过程中，尝试将这一内容进行简单补充并加以应用。

一、相关概念

（一）完备事件群（样本空间的划分）的定义

定义：设Ω为试验E的样本空间，B1，B2，…，Bn为E的一组事件。若（i）Bi ∩ Bj=Φ，i≠j，i，j=1，2，…，n；（ii）B1 U B2 U…UBn=Ω。则称B1，B2，…，Bn为样本空间Ω的一个划分。

（二）常见完备事件群举例

将样本空间进行划分，在概率模型中比较常见。例如，所有的基本事件可形成对样本空间的一个划分。在掷一枚质地均匀骰子的实验中，分别以B1，B2，…，B6表示掷出点数为1，2，…，6，则所有基本事件B1，B2，…，B6满足定义中的两个基本条件，能对样本空间Ω构成一个划分。

二、对离散型随机变量的深化理解

教材对离散型随机变量的定义为：所有取值可以一一列出的隨机变量，称为离散型随机变量。其分布列可用表格直观地表示如下：

2.对离散型随机变量正则性的理解

可见，利用完备事件群的概念，可对离散型随机变量的正则性进行非常严密的论证，并且易于学生理解。

三、全概率公式与贝叶斯公式

高中数学教材在学习条件概率后，并没有将乘法公式进行定义，但在“事件的相互独立性”的学习中简单提及了一下：

P（AB）=P（A）P（B|A）

该公式其实就是对条件概率的定义式进行简单地移项，但是基于它，我们可以引申出概率论中非常重要、难度较大的两个概念：全概率公式与贝叶斯公式。

（一）相关概念与公式

定理：设实验的样本空间为Ω，A为E的事件，B1，B2，…，Bn为样本空间Ω的一个划分，且P（Bi）>0（i=1，2，…，n），则P（A）=P（A|B1）P（B1）+P（A|B2）P（B2）+…+P（A|Bn）P（Bn）

该式称为全概率公式。

在很多实际问题中不易直接求得P（A），但却容易找到Ω的一个划分B1，B2，…，Bn，且P（Bi）和P（A|Bi）或为已知，或容易求得，那么就可以根据全概率公式求出P（A）。

证明：因为

A=AΩ=A（B1U B2U…UBn）=AB1U AB2U…U ABn，由假设P（Bi）>0（i=1，2，…，n），且（ABi）（ABj）=Φ，，i≠j，，i，j=1，2，…，n得到

P（A）=P（AB1）+P（AB2）+…+P（ABn）

=P（A|B1）P（B1）+P（A|B2）P（B2）+…+P（A|Bn）P（Bn）

另一个重要公式是下述的贝叶斯公式。

定理：设实验的样本空间为Ω。A为E的事件，B1，B2，…，Bn，为Ω的一个划分，且P（A）>0，P（Bi）>0（i=1，2，…，n，则

（二）应用

这两个公式，尤其是贝叶斯公式，形式较复杂，理解难度较大，在高考题中几乎没有出现过，我也只在一本教辅资料上见过一题，现作为例题来研究一下这两个公式的简单应用。

例：已知男人中有5%患色盲，女人中有0.25%患色盲，从100位男人和100位女人中任选一人。

（1） 求此人患色盲的概率；

（2）如果此人是色盲，求此人是男人的概率。

这是对上述公式的一个典型应用，第一问是全概率公式问题，第二问是贝叶斯公式问题。原书中对该题采用的是古典概型计数原理来求解，学生对解答并不是太了解，现在我利用全概率公式与贝叶斯公式对该题进行简单解析。

解：设A1为事件“选出的人为男人”，A2为事件“选出的人为女人”，B表示事件“选出的人为色盲”。易知A1，A2是样本空间Ω的一个划分，且有P（A1）=P（A2）=0.5，P（B|A1）=5%，P（B|A2）=0.25%。

四、在教学过程中的补充建议

完备事件群的定义并不复杂，在学生学习过程中进行穿插导入即可，具体而言，理科生在学习选修2-3第二章第一节第一课时“离散型随机变量及其分布列”之前，在学习完离散型随机变量的分布列可补充完备事件群的概念，然后利用它加深对其定义的理解，并解释其正则性。

在学习完第二章第二节第一课时“条件概率”后，建议补充乘法公式并进行应用，全概率公式和贝叶斯公式在高中阶段一般不会出现，但对学有余力或进行数学竞赛的学生可适当加以尝试和练习，一方面能培养学生思维的严密性，另一方面对学生进入大学进一步学习概率论与数理统计课程也是大有裨益的。

参考文献：

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[2] 侯新虎.新课标下高中数学学法指导[J].成才之路，2011（26）.

[3] 鲁西湖.高中数学新课程教学中的几个问题[J].新课程学习（中），2012（5）：112.

[4] 茆诗松，周纪芗.概率论与数理统计（第三版）习题与解答[M].北京：中国统计出版社，2008.