摘要：中学函数零点问题涉及化归、分类讨论、数形结合、函数与方程等重要数学思想，大学函数零点问题与罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、数列致密性定理等有着千丝万缕的关系。本文从中学数学与大学数学在函数零点问题的性质及其应用方面展开纵向对比及讨论。
关键词：函数零点；数学思想；中学数学；大学数学
中图分类号：G633.6 文献标识码：B 文章编号：1672-1578（2016）01-0392-02
1.引言
德国数学家F.克莱因认为：教师应具备较高的数学观点，基础数学的教师应该站在更高的视角（高等数学）来审视、理解初等数学问题，只有观点高了，事物才能显得明了而简单。函数零点问题涉及化归、分类讨论、数形结合、函数与方程等重要的数学思想，且很多学生一直都有"恐函症"，一见"任意""存在"等字眼就发懵，因此，尽管这个命题只有寥寥数语但也带给学生不少困惑。另外，《数学分析》也对该函数零点问题进行了延续，罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、数列致密性定理等都与它有千丝万缕的关系。本文从函数零点的概念延伸、函数零点的求解方法及导函数的零点问题对函数零点的几种应用类型进行比较，并进一步阐述函数零点问题在中学数学与大学数学中的联系。
2.零点概念性质的延伸
定义1[1]（函数零点） 对于函数y=f（x），我们把使f（x）=0的实数x叫做函数y=f（x）的零点。
同时，关于函数零点，我们有如下几个等价条件[1]：函数y=f（x）有零点方程f（x）=0有实数根函数y=f（x）的图像与x轴有交点。
这个概念本身就已经结合了函数与方程的思想，而《高等代数》[2] 又赋予了这个概念新的解释：f（λ）=|A-λE|为A的特征多项式，则特征方程|A-λE|=0的根λ就是A的特征值。也就是说矩阵的特征值就是其特征多项式的零点，这就将零点应用拓宽到了矩阵领域。
另外，《数学1》[3]中还给出了一个结论，延伸到《数学分析》[7]里，我们把它称作函数零点存在定理： 如果函数y=f（x）在区间[a，b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有f（a）.f（b）<0，那么函数y=f（x）在区间[a，b]内有零点，即存在c∈（a，b），使f（c）=0，这个c也就是方程f（x）=0的根。
这个定理看起来非常易理解，但却包含了三个条件：⑴闭区间连续；⑵端点函数值互异；⑶开区间有零点。实际上是数学分析中介值定理的下放。而在此基础上也可以推导出零点个数的判定定理，加深对零点个数问题的理解。
定理1[4] 如果函数y=f（x）在区间[a，b]上的图像是连续不断的一条曲线，设f（a）.f（b）≠0，则当f（a）和f（b）同号时，f（x）在区间（a，b）内包含偶数个零点；则当f（a）和f（b）异号时，f（x）在区间（a，b）内包含奇数个零点。即存在c∈（a，b），使得f（c）=0。这个c也就是方程f（x）=0的根。
此外，我们在解方程时有涉及重根的概念，在利用穿根法解不等式的时候涉及"奇穿偶不穿"的原理，在高中阶段往往被作为零碎的方法或概念去解决某一类问题，而从零点角度，则可以统一概括为：解析函数的一个零点是否导致符号变更（是否为一"交叉点"），按此零点重数是奇数或偶数来定。而符号变更这一概念不止在解析函数适用，在非解析函数仍然适用。有了这些高等数学的理论和概念作为支撑，在高中函数零点的教学过程中，就可以渗透更为精确的概念和表述，提升数学素养。
3.中学与大学函数零点问题的对比和讨论
中学与大学函数零点问题主要归结于在函数零点概念性质的延伸的背景下，通过对中学与大学用不同知识点来解决函数零点问题的几种应用类型进行比较，并进一步阐述其在中学数学与大学数学中的联系。
3.1 二分法与区间套定理。在中学数学现有的各版本高中教材中，均给出了利用二分法求零点近似解方法。然而在大学数学中，利用区间套定理求解函数零点问题，这是二分法在大学数学中的直接延拓，更是新课改下，大学知识简化进入中学教材的典例。
例2 利用区间套定理证明零点存在定理。
证明 由区间套定理知：
1.进行若干次等分后，某分点cn处函数值f（cn）=0此时取ξ=c即可
通过对比，我们发现无论是区间套定理还是二分法，都是通过将相应区间的两个端点逐步逼近得到相应的点，只是区间套定理相对于二分法求零点的一个最大突破就是加入了极限的概念，另二分法当中的精确度ε→0，从而使近似值趋于精确值，得到了质的飞跃。当然，尽管二分法在区间套的选取当中仍然扮演重要角色，但区间套定理不仅限于此，不只是满足即可，这也是从形式上对二分法的一种提升。另外，区间套定理中加入的唯一性的证明，则进一步体现了数学的严谨性和准确性。由此，我们也可以发现中学与大学数学的紧密联系，可以看出函数零点在高等数学教育中的基础作用。对函数零点定理的掌握可以帮助学生更好地学习实数完备性理论，一步步从区间套定理到聚点定理、有限覆盖定理等更高深的理论，从而提升其数学修养。
3.2 导函数零点问题--极值与罗尔定理。高中数学中的导函数零点问题，一直是高考当中的重点，源于它能将各大基本函数（这里指指数函数，对数函数，幂函数，三角函数等基本初等函数）的图像和性质融为一体。便于考查学生综合解题能力以及对知识点的灵活应用。其主要涉及函数的极值问题，是高中数学的一块重要内容（重庆高考卷一般会考查"一大一小"）。
将函数零点转化为某函数导数的零点则是对这一问题的逆用，是《数学分析》中的罗尔定理在高中数学的基础上，从微分到积分的跨越。
例3 （改编自2012年高考数学湖北卷文科第三题） 证明：函数在 上至少有四个零点。
分析：如果直接从函数零点定理着手，这个问题较有难度，因此可以将所求函数零点问题转化为导函数零点问题，构造出罗尔定理中的函数。
4.总结与讨论
函数零点问题实际上是《数学分析》中的介值定理下放到中学的课程中，该问题与高等数学联系紧密，且涉及一些高等数学的思想方法，对于学生今后学习和分析数学问题都有非常重要的帮助。中学数学教师若能站在高等数学的角度，沟通初等数学与高等数学的联系，居高临下地去教学，将会更有利于学生深刻领悟数学概念的精髓。若能对数学问题系统地加以思想上的总结和数学方法论方面的提炼，将更好地引导学生构建知识网络，完成素质教育的要求。
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