摘 要：先给出拉格朗日中值定理内容，然后总结了高等数学中拉格朗日中值定理的正确应用与错误应用，并举例加以说明。
关键词：拉格朗日中值定理；极限；介值定理；不等式；根的存在性
中图分类号：O13文献标识码：A文章编号：1672-3198（2009）01-0287-02
0 前言
著名的拉格朗日中值定理是微分学的基础定理之一，在理论和应用上都有着投其重要的意义。该定理叙述简单明了，并有明确的几何意义，一般掌握问题不大，但要深刻认识定理的内容，特别是点 的含义，就有较大难度。熟练掌握定理本质，在解题时游刃有余，若对定理的实质了解不够深刻的话，会进入不少误区。现借下文中的若干例子来对拉格朗日中值定理作一些探讨，以起到对定理深入理解、熟练掌握并正确应用的作用。
1 拉格朗日中值定理的内容
拉格朗日中值定理：“若函数f满足如下条件：（1）f在闭区何［a，b］上连续，（2）f在开区间(a，b)内可导，则在(a，b)内至少有一点ξ，使得ξ=f（b）-f（a）b-a 。”
2 拉格朗日中值定理的应用
2.1 拉格朗日中值定理求极限
例1 求极限limx→0ex-esinxx-sinx
解：函数f=et在［x，sinx］或［sinx，x］上运用拉格朗日中值定理
得ex-esinxx-sinx=eξ（ξ介于x与sinx之间）
当x→0时，sinx→0，由介值定理可知ξ→0
则limξ→0ex-esinxx-sinx=limξ→0eξ=1
解题思路：由ex-esinxx-sinx这一形式联想到拉格朗日中值定理的一般形式f（b）-f（a）b-a，从而构造函数f，再运用拉格朗日中值定理求极限
例2 函数f（x）在R上可导，极限limx→+∞f（x）与limx→+∞f′（x）都存在，则极限limx→+∞f′（x）=0
证明：应用拉格朗日中值定理，设limx→+∞f（x）=A，则limx→+∞f（x+1）=A，有f（x+1）-f（x）=f′（ξ），x<ξx limx→+∞f′（x）=limx→+∞f′（ξx）=limx→+∞［f（x+1）-f（x）］=limx→+∞f（x+1）-limx→+∞（x）=0即limx→+∞f（x）=0 2.2 用拉格朗日中值定理证明不等式 例1：证明不等式（1+x）x<λ<（1+x）x+1 （x>0） 证明：分析待证不等式取对数后，即得不等式11+x <ln1+1x<1x x∈（0，+∞） 所以要证题中的不等式，只要证明上述不等式即可。 令f（x）=lnx （x>0），f（x）在［x，x+1］满足拉格朗日中值定理， 故必存在ξ∈（x，x+1）使f（x+1）-f（x）=f′（ξ）=1ξ， 由于11+x<1ξ<1x，则有11+x<ln（1+x）-ln x<1x， 即11+x<ln1+1x<1x原命题得证。 例2：利用中值定理证明：若x≠0，则λx>1+x 证明：令f（x）=λx则f（x）在（-∞，+∞）上满足拉格朗日中值定理， 故 在［0，x］或［x，0］上有λx-λ0=λξ（x-0），（0<ξ 即λx=λξx+1，则当x≠0时有λx>1+x，命题得证。 2.3 用拉格朗日中值定理证明根的存在性 例1：设f（x）在（-∞，+∞）内二阶可导，f″（x）>0，且limx→+∞f′（x）=α>0，limx→+∞f′（x）=β>0，又存在x0，使f（x0）<0，试证：方程f（x）=0在（-∞，+∞）内有且仅有两个根。 证明：先证存在性，由limx→+∞f′（x）=α>0可知，对于ξ=α2，存在M>0，使得当x>M时，|f′（x）-α|<α2，即α2 同理可证，当x<0时，存在ξ2∈（x，x0），使f（ξ2）=0. 再证唯二性.(反证法) 假若f（x）=0有三个实根ξ1，ξ2，ξ3（ξ1<ξ2，ξ3），由洛尔定理，存在η1∈（ξ1，ξ2），η2∈（ξ1，ξ2），使得f′（η1）=f′（η2）=0. 再由洛尔定理，存在η∈（η1，η2），使f″（η）=0.与题设f″（η）>0矛盾，故f（x）=0在（-∞，+∞）内有且仅有两个根。 2.4 误用拉格朗日中值定理 误区一：“若函数f(x)在［a,b］连续在(a,b)可导则对区间(a,b)内任一点ξ，定能找到确定的两点x1，x2∈［a,b］，使得f(x2)-f(x1)=f′（ξ）(x2-x1)成立。” 以上命题与拉格朗日中值定理几乎相同．似乎应该成立，其实不然错误原因在于对ξ与x1，x2的关系未搞清．定理是先有x1，x2后有ξ，现在是先有ξ后找x1，x2则不一定存在。譬如f（x）=x3，该函数在：［-1，1］上连续，在(-1，1)内可导，满足拉格朗日中值定理条件，取：ξ=0∈(-1，1)，由f′（x3）=3x2．得f′（ξ）=0．即f（x2）-f（x1）=f′（ξ）（x2-x1）=0，但f（x）=x3严格单调，所以找不x1、x2到所要求的。以上命题错误。 误区二：“用拉格朗日中值定理，‘可推得’limx→0cos1x=0，说明该定理有错”。 证明如下：设f（x）=x2sin1x=0x≠00x=0则f（x）在［0，x］上连续，在(0，x)内可导，故存在ξ∈(0，x)，使f（x）-f（0）=f′（ξ）（x-0）成立，即xsin1x=2ξsin1ξ-cos1ξ，即cos1ξ=2ξsin1ξ-xsin1ξ-xsin1x，当x→0，时ξ→0，得出cos1ξ→0，从而limx→0cos1x=0，而事实上limx→0cos1x不存在，说明拉格朗日中值定理出错。 是定理真的有错吗?否。事实上以上证明得出limx→0cos1ξ→0是正确的．问题在于不能因此得出limx→0cos1x=0，因为当x连续地趋于0时，ξ并不连续趋于0．它仅是cos1x的一个子列，而子列极限存在并不等于原极限存在。 参考文献 ［1］华东师范大学数学系，数学分析［M］.高等教育出版社. ［2］刘玉琏，数学分析讲义［M］. 北京： 高等教育出版社， 1988. ［3］华东师范大学. 数学分析习题解析［M］.陕西师范大学出版社， 2004. ［4］石建城等，高等数学例题与习题集［M］. 西安交通大学出版社. ［5］钱吉林. 数学分析题解精粹［M］. 武汉：崇文书局， 2003. ［6］黄先开.2008年考研数学最新精选600题（理工类）［M］.中国人民大学出版社.