大学生实践创新训练项目（项目编号201412917003Y）研究成果之一.
实数的完备性是数学分析学习和讲授中的难点之一，华东师范大学编写的数学分析将该难点进行了分散处理：第一章介绍了确界原理，第二章给出了单调有界定理，第三章给出了连续函数的性质，并得出了闭区间上连续函数的最值性. 第七章在介绍了实数完备性相关定理后，专门安排介绍了闭区间上连续函数的性质（有界性，最值性介值性、一致连续性等）并用多种方法进行了证明. 不少专家学者对闭区间上连续函数性质的证明进行了深入研究. 本课题组研究发现，闭区间连续函数的最值性虽最易直观理解，但作为一门严谨的学科，必须对其进行严密的证明，这类证明方法在诸多文献中鲜有发现. 教材中也仅利用确界原理对其进行了证明. 本文试用实数完备性的主要定理（单调有界原理、致密性定理、闭区间套定理、有限覆盖定理、聚点定理）对闭区间上连续函数的最值性从多角度进行证明，深化了对实数完备性主要定理的应用与理解.
一、预备知识
引理1（确界原理）设S是非空数集，若S有上界，则必有上确界. 若S有下界，必有下确界.
引理2（有界性定理）若函数在闭区间[a，b]上连续，则f（x）在[a，b]上有界.
引理3（单调有界原理）在实数系中，有界的单调数列必有极限.
引理4（致密性定理）有界数列必含有收敛子列.
引理5（闭区间套定理）若{[a，b]}构成一个区间套，则在实数系中存在唯一的一点ξ，使得ξ∈[a，b]，n = 1，2，….
引理6（有限覆盖定理）设H为闭区间[a，b]上一个（无限）开覆盖，则从H中可选出有限个开区间来覆盖[a，b]
最大（小）值定理：若函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，则f（x）在[a，b]上有最大值和最小值.
二、主要证明
5. 总 结
关于闭区间连续函数的最值性的证明，主要根据不同的定理进行有效的构造. 实数完备性的几大定理，从不同侧面对实数进行了有效的刻画，这些定理是相互等价的. 对同一问题利用实数完备性不同的定理进行证明，一方面验证了定理相互等价，另一方面可以促进学生加深对这些定理内涵及其应用的理解，从而激发其学习兴趣，有效化解了数学分析中的难点问题.
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