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【摘要】全概率公式和贝叶斯公式都是概率论中的重要公式之一， 它既是我们讲解的重点也是难点。怎样讲好这一公式， 让学生理解得更透彻，掌握的更牢固一直是教师们不断探讨的问题。
【关键词】划分 全概率公式 贝叶斯公式
【基金项目】河南理工大学校青年基金资助项目（72511/082），河南理工大学校示范教师教改专项资助项目（72307/001）。
【中图分类号】G64 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2016）01-0140-01
全概率公式和贝叶斯公式是概率论这门学科中的一个重点知识，而同学们却总是对这一部分的知识理解不够透彻、掌握总是不到位。在多年的教学实践中，笔者逐渐摸索出一种便于理解和应用的方法，现介绍一下以作切磋：
首先介绍预备知识：1.概率有限可加性：设B1，B2，…Bn为两两互斥事件组，则有P（B1∪B2∪…∪Bn）=P（B1）+P（B2）+…P（Bn）；2.乘法公式，当P（A）>0，或P（B）>0，P（AB）=P（B）P（A"B）=P（A）P（B|A）。
然后从一个引例引出学生学习的兴趣：先看这样一个问题，有一个箱子，编号为 1，里面有四个白球一个红球，则从中取出红球的概率是多少呢？很显然，根据古典概型的知识可以知道是五分之一。那如果问题变得复杂一点，编号为2的箱子里有三个白球两个红球，编号为3的箱子里有三个红球，若某人先选一个箱子之后再从中取出一个球，问最后取出红球的概率是多少呢？
这个问题的求解可以通过中学学过的树形图的方法来进行解决，引导学生可以根据学过的乘法原理分步骤的思想进行计算：取一号箱的情况取到红球的概率就是三分之一乘以五分之一；取二号箱的情况取到红球的概率就是三分之一乘以五分之二；取一号箱的情况取到红球的概率就是三分之一乘以一，把三种情况加在一起就是最后的结果。这实际上就是树形图上“同枝相乘，异枝相加”的思想，放在大学知识里也就是乘法与加法的一个综合运用。把这种方法提取出来，解题思想上升到一定理论，抽象出一种更普遍的公式用以解决更复杂的问题，这也就是我们今天要讲的全概率公式。
在全概率公式应用的过程里，类似于取箱子这样的事件很重要，那我们就要好好分析这类事件，总结出它们的性质。回过头来还看这个引例，要取球的第一步要取个箱子出来，那如果取一号箱会不会同时取二号箱？那么取二号箱会不会同时取三号箱？不会的，同样取三号箱的话也不会取到一号箱。也就是说事件B1、B2、B3为两两互斥事件组。再看最后取到的红球要么属于一号箱，要么属于二号箱，要么属于三号箱，还有没有其他情况呢？没有了。所以说事件B1、B2、B3包含了所有情况，也就是B1∪B2∪B3=S，而取到红球（事件A）就是一号箱的红球或者二号箱的红球或者三号箱的红球，也就是事件A总是会伴随着事件B1、B2、B3中的一个发生，所以我们称事件B1、B2、B3为事件A的原因，更严格地我们给出类似于事件B1、B2、B3这样的事件组的定义，在概率论里我们把他们称作划分。这是我们今天要讲的第一个主要内容，看划分的定义：
设S为试验E的样本空间，B1，B2，…，Bn为E的一组事件，若
（i） BiBj=？准，i≠j，i，j=1，2，…，n；
（ii） B1∪B2∪…∪Bn=S.
则称B1，B2，…，Bn为样本空间S的一个划分。
从划分对最终事件的影响出发，结合化整为零、各个击破的思想，推导出全概率公式，然后给出全概率公式的定义：
定理：设试验E的样本空间为S，A为E的事件，B1，B2，…，Bn为S的一个划分，且P（Bi）>0（i=1，2，…，n），则
称上式为全概率公式。
全概率公式是按照事情的发展顺序，针对已知原因求结果的问题进行计算，还有一种类型，是按照事情发展的逆序，针对已知结果求原因的问题：例1中某人从任一箱中任意摸出一球，发现是红球，求该球是取自1号箱的概率？或者问：该球取自哪号箱的可能性最大？再比如某个公司使用责任承包制，那么出现次品问题应该由哪个厂负责？这种类型的问题是我们要介绍的贝叶斯公式（逆概率公式）。
定理：设试验E的样本空间为S，A为E的事件，B1，B2，…，Bn为S的一个划分，且P（Bi）>0（i=1，2，…，n），则
称上式为贝叶斯公式。
下面我们先来看两个例子：
例1 甲，乙两文具盒内分别有2支蓝色笔和3支黑色笔，现从甲文具盒中任取2支笔放入乙文具盒内，然后再从乙文具盒中任取2支笔，求最后取出的2支笔都是黑色的概率。
做这类问题的关键是划分的选择，最后用两个例题说明如何在实际问题中找出划分的事件组，选择标准之一是（如例1）根据实验的第一步，第二个标准是（如例2）对象的属性，这样学生理解起来就比较简单，在做题的时候就感觉很容易了。
作者简介：
刘新乐（1980-），女，河南平顶山人，讲师，硕士研究生，从事数理统计方向研究。
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