浅谈不定积分的积分方法

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【摘要】不定积分是高等数学中的重要内容，在数学分析学科中也占据着重要地位.同一道积分题目有不同的积分方法，为使学生更好地掌握不定积分，本文主要结合实例分析介绍了不定积分的基本积分法、换元积分法和分部积分法.

【关键词】不定积分;换元积分法;分部积分法

【基金项目】安康学院教改项目（YB201807、YB201803）;安康学院自然科学基金项目（2017AYQN09、2018AYQN02）.

不定积分是高等数学中积分学的基础，不定积分的掌握情况直接影响到积分理论的学习与应用，熟练掌握不定积分的理论与不定积分的几种积分方法需要以微分理论为基础.

一、不定积分的定义与性质

定理1 若F（x）是f（x）在区间I上的一个原函数，则对c，F（x）+c都是f（x）在区间I上的原函数;若G（x）也是f（x）在区间I上的原函数，则必有G（x）=F（x）+c.

可见，若f（x）有原函数F（x），则f（x）的全体原函数所成集合为{F（x）+c"c∈R}.

定义1 函数f在区间I上的全体原函数称为f在I上的不定积分，记作∫f（x）dx，

其中称∫为积分号，f（x）为被积函数，f（x）dx为被积表达式，x为积分变量.

不定积分与原函数是总体与个体的关系，即若F是f的一个原函数，则f的不定积分是一个函数族{F+C}，C是任意常数，为方便起见，写作∫f（x）dx=F（x）+C.

这时又称C为积分常数，它可取任一实数值.

不定积分的线性运算，即对α，β∈R，有∫（αf（x）+βg（x））dx=α∫f（x）dx+β∫g（x）dx.

二、不定积分的积分方法

（一）直接积分法

直接积分法是指直接或者将被积函数做适当恒等变形后，利用不定积分的性质和基本积分公式来求不定积分的方法.

例1 求∫tan2xdx.

解 ∫tan2xdx

=∫（sec2x-1）dx

=∫sec2xdx-∫dx

=tanx-x+C.

（二）换元积分法

1.第一类换元积分法

第一类换元积分法，也叫凑微分法，是所有积分法的基础，是把复合函数求导法则反过来应用于不定积分，通过适当的变量替换，把一些积分形式转换成基本积分表中所给出的形式再计算最终结果.

定理2 设F（u）为f（u）的原函数，u=φ（x）可微，则

∫f（φ（x））φ′（x）dx=∫f（u）duu=φ（x）.

公式在使用时可把它写成简便形式：

∫f（φ（x））φ′（x）dx=∫f（φ（x））dφ（x）=F（φ（x））+C.

例2 求∫tanxdx.

解 由∫tanxdx=∫sinxcosxdx=-∫（cosx）′cosxdx，可令u=cosx，g（u）=1u，则得

∫tanxdx

=-∫1udu=-ln|u|+C=-ln|cosx|+C.

例3 求∫lnx+1（xlnx）2dx.

解 ∫1（xlnx）2d（xlnx）

=-1xlnx+C.

2.第二类换元积分法

第二类换元的基本思想是选择适当的变量代换x=φ（t），将无理函数的积分化为有理式的积分.

定理3 设x=φ（t）是单调的、可导的函数，并且φ′（t）≠0.又设f[φ（t）]φ′（t）具有原函数F（t），则有换元公式

∫f（x）dx=∫f[φ（t）]φ′（t）dt=F（t）+C=F[φ-1（x）]+C，

其中t=φ-1（x）是x=φ（t）的反函數.

例4 求∫a2-x2dx（a>0）.

解 令x=asint，|t|<π2（这是存在反函数t=arcsinxa的一个单调区间）.于是

∫a2-x2dx

=∫acostd（asint）

=a2∫cos2tdt

=a22∫（1+cos2t）dt

=a22t+12sin2t+C

=a22arcsinxa+xa1-xa2+C

=12a2arcsinxa+xa2-x2+C.

（三）分部积分法

分部积分法是乘积的微分公式的逆运算.分部积分法在使用时需注意：（1）熟记分部积分公式;（2）记住反函数、对数函数、幂函数、指数函数、三角函数这五类函数的顺序，简记为反对幂指三，前为u后为v′.

定理4 若u（x）与v（x）可导，不定积分∫u′（x）v（x）dx存在，则∫u（x）v′（x）dx也存在，并有

∫u（x）v′（x）dx=u（x）v（x）-∫u′（x）v（x）dx.

例5 求∫x2exdx.

解 令u=x2，v′=ex，则有u′=2x，v=ex.

∫x2exdx

=∫x2d（ex）=x2ex-∫exd（x2）

=x2ex-2∫xexdx

=x2ex-2exx+2ex+C.

例6 ∫xlnxdx.

解 ∫xlnxdx=∫lnxdx22

=x22·lnx-∫x22dlnx

=x22·lnx-∫x2dx

=x22·lnx-x24+C.

本文对不定积分的几种积分方法进行了简单的总结，不定积分的解法不是一成不变的，也没有统一的规律可循，只有对不定积分的解法熟练掌握，以后遇到不定积分才可以快速准确地求解.

【参考文献】

[1]汪义瑞，石卫国.数学分析简明教程[M].成都：西南交通大学出版社，2014.

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[5]王宁，刘生.浅谈高等数学不定积分方法的简单归类[J].科技创新导报，2011（4）：150.