摘要针对动力系统中吸引域的研究问题,我们主要阐述了吸引域的估计及其研究的若干方法,包括其基本原理、基本思想与适用性等。同时,我们介绍了吸引域的估计在现实与理论中研究的意义。
中图分类号:O19文献标识码:A
0 前言
对于一个具体的映射系统来说,我们要彻底地了解与掌握该系统的内在结构与规律,通常要通过研究它的动力学行为来揭示它的整个演化过程及其最终演化的结果,因此研究它的吸引域就是一个不可或缺的问题。
实际上,我们知道对于一个映射系统,即使映射系统很简单,它的吸引子为简单的不动点时,吸引域边界也可能很复杂,甚至可能出现分形结构。我们知道吸引域的估计就是要确定划分不同吸引子的边界。然而我们清楚映射系统的吸引子本身的结构也具有多样性(可能是多个吸引子或者是奇异吸引子),这样一来就使得吸引域的研究成为了一个十分复杂而极其重要的工作。基于此,我们综述了几种吸引域的估计方法,便于为以后的工作提供一定的帮助与引导。
1 吸引域的估计方法
第一种方法是流形估计方法。一般来说,吸引域的边界包含在边界上的某一不稳定集的稳定流形。对于一个映射系统T,我们就可以利用中心流形定理①用数值计算得到鞍不动点p(或者不稳定集)的稳定流形,那么可以得到吸引域的边界,其中是T -1的T逆映射。
上述方法关键技术是求解稳定流形。对于二维空间中的微分同胚的稳定和不稳定流形,处理的通常方法是假设局部不稳定流形沿不稳定特征向量u方向且过不动点q的一短线段:Wu(q) = {q + twu : - ≤t≤},对Wu(q)上的点进行迭代来求解全局不稳定流形。在位于这个局部不稳定流形上不动点的同一侧均匀地取N个点,即1≤j≤N当时有xj = q+ ()wu,取若干次迭代,来得到变长了的不稳定流形,即对于固定的k > 0, {Tk(xj):1≤j≤N}。同理,我们向后迭代可得到其稳定流行,令j = q + ()ws,1≤j≤N,则对于固定的k > 0,{T-k(j):1≤j≤N}近似于其稳定流形。
对于流形估计方法它应用于映射系统较为方便,我们可以得到系统的全部吸引域,同时可以研究吸引域的全局分叉问题。但是在具体的许多实际动力系统中难以找到行之有效的数值方法求解到系统的稳定流形。
第二种方法是蒙特卡洛方法。该方法的具体实现过程主要由计算机进行数值模拟。在平面R2上随机取一个研究区域[a,b][c,d],固定一个步长k ,l,把所研究区域划分为有限多个初始点m,而且一定要满足 == m,其实m就是要扫描像素点的个数。接着用数值计算的方法把这m点个代入到映射T进行扫描,得到从这些点出发的轨线经过适当一段时间趋向于那一个吸引子(有限的或者无限的),用不同的颜色记录趋向于不同吸引子的初始条件,从而决定不同吸引子的吸引域。
上述方法适用于任意高维系统,我们可以通过改变步长,进而改变像素点的个数来调整计算的误差,特别是对于连续系统来说,我们还可以通过改变积分误差与积分周期来调整其计算误差。同时我们也可以通过调整研究区域[a,b][c,d]的大小,在我们需要一定精度的要求下进行较高较准的研究分析。但该方法在锁定我们想要研究的区域时是需要进行不断地调试。
第三种方法是李雅普诺夫函数方法。该方法主要是通过构造系统的适当的李雅普诺夫函数,若关于某一稳定不动点构造的李雅普诺夫函数在某些点为凸函数,而从这些点出发的轨线又收敛于这一稳定不动点,那么这一李雅普诺夫函数的凸边界就是吸引域的边界。
该方法可以适用于任何维的连续和离散动力系统。但是只有特殊类型的方程才有李雅普诺夫函数,而且李雅普诺夫函数的构造没有一般的方法与无确定的规律可循,并且它也仅仅只能给出不动点吸引子的吸引域的一个子集(稳定邻域)。
第四种方法是数轴反向跌代法。该方法仅仅适用于可行吸引域的估计。所谓可行吸引域是指,如果一个映射T对于任意非负的x和y有定义,即在R2+ = {(x,y) ∈R2|x≥0,y≥0}中有定义,并且在点(x0,y0)∈R2+产生的整个轨线{(xt,yt) - T(x0,y0),t = 1,2,…}有界,那么这个点是一个可行点,这样的轨线称为可行轨线。产生可行轨线的的初始点的集合称为可行吸引域D。对于一个具体的动力系统而言,一般它的可行吸引域D的边界是X = {y = 0}和Y = {x = 0}所有的前像的并给出。该方法适用于大多数演化系统的可行吸引域的界定,可以帮助我们清楚地了解系统的最终演化结果。但该方法是建立在映射系统T存在逆映射以及它的逆可以得到有效的求解的情况下,才能保证吸引域的有效界定。
2 研究的意义
一方面从应用角度来说,吸引域的估计已经广泛地应用于各个领域中。在混沌控制中,吸引域的估计可增加控制混沌的技术。②在电力系统网络中,③如果对电压的扰动如果超过一定范围(即偏离稳定状态超过的允许值)可能引起整个电网的大面积停电,甚至整个电网的崩溃。因此确定偏离稳定状态的允许值即稳定不动点的吸引域大小尤为重要。在将神经网络用于联想记忆时,网络中不动点的吸引域大小可以使我们了解神经网络的纠错能力。在生态种群系统中,④⑤通过确定初始的种群密度的范围(即可行吸引域的大小),来保证系统在给定参数的情况下不灭绝和不出现种群爆炸等现象,并给出了种群系统保持全局持久性的系统参数的范围(即在参数给定情况下初始种群密度在什么范围时种群系统是稳定的)。因此吸引域的估计具有很强的实用价值。
另一方面从理论研究的角度来说,我们要完整分析一个复杂系统不仅要分析它的吸引子的复杂性而且要分析它的吸引域的复杂性。通过研究吸引域的估计,我们可以发现系统更多新的动力学行为(分形与多孔结构),⑥⑦因此对吸引域的研究,我们可以完善与丰富动力学的一些相关理论,同时为其广泛的现实应用提供理论上的指导。
3 总结
本文给出了四种吸引域的估计方法,其中包括一类特殊的可行吸引域的界定方法。虽然在论理与应用中我们已经取得了许多研究成果,但是我们知道吸引域的估计方法本身就有它们的适用性、诸多限制与缺陷。所以我们在面对一个具体的动力系统对它进行研究时,就要根据其特点来选择有效的研究方法。当然,在面对着更为复杂的动力系统时,我们在已有的方法行之无效的情况下,应该积极地去寻找与研究新的方法。
注释
①刘秉正,彭建华.非线性动力学[M].北京:高等教育出版社,2004:47-53.
②Paskota, M. “On control of chaos: The neighborhood size” Int.J. of Bifurcation and chaos, 6, (1996):169-178.
③Budd C.J. and wison J.P. ”Bogdanov-Takens bifurcation points and Sil’nikovhomoclincity in a simple power-system modell of voltage collapse” IEEE Trans. circuits and systems, 49:5 (2002):575-589.
④Jackson, E.A. & Grosu, I. “An open-plus-close-loop(OPCL) control of complex dynamic system,” Phys. D, 85, (1995):1-9.
⑤Maynard Smith, J: Mathematical Ideas in Biology. Cambridge: CambridgeUniversity Press (1968).
⑥Popovych O.,Maistrenko Yu., Mosekide E.,Pikovsky A., KurthsJ.”Transcritical riddling in a system of couled maps.”phya.Rev..E,63(2001)036201-15.
⑦Maistrenko Yu.L.,Maistrenko V.L.,Popovich A.,Mosekide E.”Role of the absorbing area in chaotic synchronization.”Phys.Rev.Lett.23(1998):1638-1641.
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