摘要： 为了提高航空装备的可靠性，常常需要对其进行加改装，即每型部附件加装备用部附件。计算表明，利用动态规划理论合理安排每型部附件的备用部附件数量，既可以有效提高装备可靠性，又能将加改装费用降低到最小。
Abstract： To improve the reliability of aviation equipment， equipment personnel add spare parts for each type of attachment. Calculation shows that reasonable arrangements for the number of spare parts by dynamic programming improve equipment reliability effectively， and the modification cost is reduced to the minimum.
关键词： 装备可靠性；动态规划；加改装
Key words： equipment reliability；dynamic programming；modification
中图分类号：O221.3 文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2014）29-0076-03
0 引言
动态规划是一种数学方法，属于运筹学的一个分支，其目的是使多阶段决策过程最优化。动态规划的方法广泛应用于经济管理、工程技术、生产调度、最优控制和工农业生产及军事等方面。动态规划是一种重要的决策方法，可以用来解决装载和排序、最短路线、最优路径、设备更新、资源分配、库存管理、生产过程最优控制等问题。许多问题常常用线性规划或非线性规划来解决，但仍不如用动态规划更行之有效。
装备的可靠性既是确定维修需求的依据，又是维修工作的归宿，维修工作必须围绕可靠性的需求来做，一切维修活动，归根到底都是为了保持、恢复、提高装备的可靠性[1]。制定在一定的经济范围内保障装备的可靠性最高的装备改装方案，用动态规划来解决有效很多。
1 动态规划的方法介绍
1.1 动态规划的基本思想 动态规划的核心是最优化原理，具有如下性质：无论过去的状态和决策如何，对前面一系列决策所形成的目前状态而言，余下的决策必须构成最优策略[2]。运用该原理，就可以将多阶段决策问题的求解过程看作一个连续的递推过程，由后向前逐步推算，求解问题时，各状态前面的状态和策略，对后面的子问题来说，只不过相当于其初始条件，并不影响后面的最优决策[3]。
1.2 动态规划的基本概念
①阶段。阶段是指为了便于按一定的次序去求解，而把问题的过程恰当地分为若干个相互联系的阶段，人们常用符号k表示阶段变量，阶段变量指描述阶段的变量。
②状态。状态表示每个阶段开始所处的自然状况或客观条件，它描述了研究问题过程的状况。描述过程状态的变量称为状态变量，常用sk表示第k阶段的状态变量。
③决策。决策表示当过程处于某一阶段的某个状态时，可以作出不同的决定，从而确定下一阶段的状态，这种决定称为决策。常用uk（sk）表示第k阶段当状态处于sk时的决策变量，它是状态变量的函数。在实际问题中，决策变量的取值往往限制在某一范围内，此范围称为允许决策集合，常用Dk（sk）表示第k阶段从状态sk出发的允许决策集合，显然有uk（sk）∈Dk（sk）。
④策略。策略是一个按顺序排列的决策组成的集合。由过程的第k阶段开始到终止状态为止的过程，称为问题的k子过程。由每段的决策按顺序排列组成的决策函数序列{uk（sk），…，un（sn）}称为k子过程策略，简称子策略，记为
pk，n（sk），即pk，n（sk）={uk（sk），uk+1（sk+1），…，un（sn）}
⑤状态转移方程。状态转移方程是确定过程由一个状态转移到另一个状态的演变过程。若给定第k阶段状态变量sk的值，如果该段的决策变量uk一经确定，第k+1阶段的状态变量sk+1的值也就完全确定。即sk+1的值随sk和uk的值变化而变化，这种对应关系可以记为
sk+1=Tk（sk，uk）
上式称为状态转移方程，Tk称为状态转移函数[4]。
⑥指标函数和最优值函数。指标函数是用来衡量所实现过程优劣的一种数量指标，它是定义在全过程和所有后部子过程上确定的数量函数，常用Vk，n表示[5]，即
Vk，n=Vk，n（sk，uk，sk+1，…，sn+1），k=1，2，…，n
对于要构成动态规划模型的指标函数，Vk，n可以表示为sk、uk、Vk+1，n的函数，满足以下递推关系Vk，n（sk，uk，sk+1，…，sn+1）=？准k[sk，uk，Vk+1，n（sk+1，…，sn+1）]
常见的指标函数有如下两种：
1）过程和它的任一子过程的指标是它所包含的各阶段的指标的和，即
Vk，n（sk，uk，sk+1，…，sn+1）=■vj（sj，uj）
其中vj（sj，uj）表示第j阶段的阶段指标[6]，则上式又可以记为
Vk，n（sk，uk，sk+1，…，sn+1）=vk（sk，uk）+Vk+1，n（sk+1，uk+1，…，sn+1）
2）过程和它的任一子过程的指标是它所包含的各阶段的指标的乘积[7]，即
Vk，n（sk，uk，sk+1，…，sn+1）=■vj（sj，uj）
这时就可写成
Vk，n（sk，uk，sk+1，…，sn+1）=vk（sk，uk）Vk+1，n（sk+1，uk+1，…，sn+1）
指标函数的最优值，称为最优值函数，记为fk（sk）[8]。它表示从第k阶段的状态开始到第n阶段的终止状态的过程，采用最优策略所得到的指标函数值，记
fk（sk）=■Vk，n（sk，uk，…，sn+1）
其中“opt”可根据题意取min或max[9]。
1.3 动态规划的基本方程 设指标函数是取各阶段指标的乘积的形式，那么动态规划的基本方程为
fk（sk）=■[vk（sk，uk）×fk+1（sk+1）]
k=n，n-1，…，1
边界条件为fn+1（sn+1）=1[10]。
其中n表示计划的阶段总数，k表示阶段变量，fk+1（sk+1）表示从第k+1阶段到第n阶段采取最优策略所得到的指标函数值[11]，vk（sk，uk）表示第k阶段的阶段指标，fk（sk）表示从第k阶段到第n阶段采取最优策略得到的指标函数值，“opt”在装备更新问题中取max[12]。
2 实例求解
某航空装备由3型部附件D1、D2、D3（每型各1个）构成，3型部附件间的可靠性功能关系为串联关系，即有一型部附件出现故障该型装备即出现故障，无法正常使用。3型部附件使用到时间t的可靠度Ri（t）（i=1，2，3）分别为0.6、0.7、0.5。为提高该型装备的可靠性，拟对其进行加改装，每型部附件加装备用部附件（同型部附件间构成并联关系）。受重量、加改装空间等的制约，每一型部附件最多只能加装3个备用部附件，3型部附件的单个加改装费用Ci（i=1，2，3）分别为15万元、30万元、25万元。现要求加改装总费用不超过120万元，试制定加改装方案，使得该型装备使用到时间t的可靠度最高。
根据题意，本问题为一个3阶段的决策问题。设阶段k=1，2，3，每个阶段解决一个部附件应加装备用部附件的数量；状态变量sk表示第k阶段可以使用的改装经费；决策变量uk表示第k阶段加装的备用部附件数量。状态转移方程为sk+1=sk-ukck
允许决策集合为Dk（sk）={uk|0？燮uk？燮（sk/ck），uk为整数}
指标函数为vk（sk，uk）=1-（1-Rk）■
递归方程为fN+1（sN+1）=1fk（sk）=■{vk（sk，uk）×fk+1（sk+1）}
下面用顺序法求解。
①当k=1时，s1=120。
f1（120）=■{（1-（1-0.6）■）×f2（120-15u1）}
=max{0.6f2（120），0.84f2（105），0.936f2（90），
0.9744f2（75）}
②当k=2时，s2=120，105，90，75。
f2（120）=■{（1-（1-0.7）■）×f3（120-30u2）}
=max{0.7f3（120），0.91f3（90），0.973f3（60），0.9919f3（30）}
f2（105）=■{（1-（1-0.7）■）×f3（105-30u2）}
=max{0.7f3（105），0.91f3（75），0.973f3（45），0.9919f3（15）}
f2（90）=■{（1-（1-0.7）■）×f3（90-30u2）}
=max{0.7f3（90），0.91f3（60），0.973f3（30），0.9744f3（0）}
f2（75）=■{（1-（1-0.7）■）×f3（75-30u2）}=max{0.7f3（45），0.91f3（15）}
③当k=3时，s3=120，105，90，75，60，45，30，15，0。
f3（120）=■{（1-（1-0.5）■）}=0.9375
同理解得
f3（105）=f3（90）=f3（75）=0.9375
f3（60）=0.875，f3（45）=f3（30）=0.75
f3（15）=f3（0）=0.5
反推回去，解得
f2（120）=0.91f3（90）=0.853125
f2（105）=0.91f3（75）=0.853125
f2（90）=0.91f3（60）=0.79625
f2（75）=0.7f3（45）=0.525
进而解得f1（120）=0.936f2（90）=0.74529
从而求得u1=2，u2=1，u3=2，即加装2个D1型备用部附件、1个D2型备用部附件、2个D3型备用部附件。该型航空装备加改装总费用为110万元，使用到时间t的可靠度为0.74529。
3 应用分析
①假设航空装备技术人员依经验决定加装D1型备用部附件2个、D2型部附件1个、D3型部附件3个。则该型航空装备加改装总费用为135万元，使用到时间t的可靠度为0.798525。显然，与动态规划计算出来的结果相比，可靠度并没有显著增加，总费用却超出预算很多。
②假设加装D1型备用部附件1个、D2型部附件1个、D3型部附件2个。则该型航空装备加改装总费用为95万元，使用到时间t的可靠度为0.66885。可见，与动态规划的方法相比，费用虽然在预算之内，但可靠度却明显下降。
综上，制定在一定经济范围内的提高装备可靠性的加改装方案，运用动态规划来解决既可以有效提高装备可靠性，又可以将费用降低到最小。
4 结束语
维修实践表明，高可靠性和高维修性的航空装备，既可以延长使用寿命，又可以减少维修项目和维修次数，这是从根本上降低维修费用的有效办法。另外，增加零部件特别是贵重件的可修复性，即在维修性设计时，使其具有可调整、可矫正、可局部拆换等性能，这样既能节约维修费用，又便于战时修复，提高航空装备作战效能。动态规划为决策者提供了每个零部件的备用件加装策略，综合考虑了装备的可靠性和经济性，使得总效益最大化。
参考文献：
[1]赵经成，祝华远，王文秀.航空装备技术保障运筹分析[M].北京：国防工业出版社，2010，6.
[2]张丽叶.装备更新经济性分析[J].装备学院学报，2012，23（5）.
[3]Wayne L. Winston. Operations research[M].北京：清华大学出版社，2011.
[4]李维铮，甘应爱，田丰.运筹学[M].北京：清华大学出版社，2005.
[5]傅清祥，王晓东编著.算法与数据结构[M].北京：电子工业出版社，1998.
[6]Dreyfus S E， Law A M. The art and theory of Dynamic Programming[M]. Academic Press， 1977.
[7]马仲蕃，魏权龄，赖炎连.数学规划讲义[M].北京：中国人民大学出版社，1981.
[8]俞玉森主编.数学规划的原理和方法[M].武汉：华中工学院出版社，1985.
[9]王晓迪.高等学校教育装备管理决策支持研究.[EB/OL].中国知网，2011-12-01.
[10]沈贵林.基于动态规划的物流装备更新决策方法[J].2006，29（12）.
[11]杨媛媛.装备更新决策综合方法[J].装备指挥技术学院学报，2002，13（4）.
[12]陈庆华.装备运筹学[M].北京：国防工业出版社，2005.
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