摘要:本文认为在解题中“特殊化”是需要的,但解题不能只是停留在“特殊化”的层次,更不能仅仅满足于“特殊化”. 在学习解题与研究解题中应该有一个对解题方法的自觉回顾与反思,以及提炼概括等意识,并主动追求某类问题的一般性解法和推广引申.
关键词:特殊化;一般性解法;推广与引申
周凤凯老师在《特殊化巧解题两例》(中学生数学.2008,11(上))一文中运用“特殊化”的方法解了两例选择题,读后颇受教益. 但我们认为在“研究解题”中,“特殊化”固然可取,但不能只是停留在“特殊化”的层次,仅仅满足于“特殊化”. 在解题学习与解题研究中应该有一个对解题方法的自觉反思与回顾,以及主动追求一般性解法和推广引申的过程. 试举数例如下.
例1-1 △ABC内有一点P,使++取得最小值,则P为△ABC()
A. 重心B. 内心C. 外心D. 垂心
解 如图1所示,以BC所在直线为x轴,BC的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系.
设B(-m,0),C(m,0),A(x,y),P(x,y),则++=(x-x0)2+(y-y0)2+(x+m)2+y2+(x-m)2+y2=3x-+3y-+x02+y02+2m2--=3x-+3y-+++2m2.
当x=,y=,即P,为△ABC重心时,++的最小值为++2m2,反之也然,故选A.
注:(1)“点P在△ABC内”,改为点P在△ABC所在平面上,例1-1结论保持不变;(2)运用特殊化法时通常选择等边三角形或等腰直角三角形,建系相对简单,另外特殊化法中已经包含着一般性解法的一切必要因素.
这里先给出一个简单的数学事实,然后再讨论一个与例1-1相关的问题.
性质1点P在Rt△ABC内部(包括边界上)运动,则PAmax=AB(注:角C为直角).
例1-2设P在△ABC内部(包括边界)运动,求++的最大值.
解由例1-1知,++=3x-+3y-+++2m2=3x-+y-+++2m2.①
设G为的△ABC重心,则G,,如图2,作GH⊥BC,连结GB,GC,则当P在Rt△BHG内部(包括边界上)运动时,由本文性质1可知,PG=BG.
同理,当P在Rt△CHG内部(包括边界上)运动时,PG=CG. 类似地,当G在△ABC内部(包括边界上)运动时,PG=maxAG,BG,CG,联系①式整理得(++)=max{2x02+2y02+2m2,x02+y02+2mx0+5m2,x02+y02-2mx0+5m2｝
即(++)
=maxAB+AC,BA+BC,CA+CB
(此时P与△ABC的某个顶点重合).
例2-1O为△ABC内一点,且+2+3=0,则△AOC的面积与△BOC的面积之比为()?摇
A. B. C. 3D. 2
解由+2+3=0得(+)+2(+)=0.
如图3所示,取BC的中点G,AC的中点H. 所以2+4=0,
所以=-2,即G,O,H三点共线,且=2. 又因为G,H分别为BC,AC的中点,
所以====2,选D.
下面对例2-1推广如下:
例2-2O为△ABC内一点,且+k+(k+1)=0(k∈R,k≥0),求△AOC的面积与△BOC的面积之比.
解如图3所示,取BC的中点为G,AC的中点为H,由+k+(k+1)=0得(+)+k(+)=0,即2+2k=0.
所以=-k,即G,O,H三点共线,且=k.
又因为G,H分别为BC,AC的中点,所以====k.
注:(1)通过调整例2-2中的系数等,可以得到更多的推广;
(2)请读者朋友尝试该题的其他解法.
例3(2008年山东理科第4题)设函数f(x)=x+1+x-a的图象关于直线x=1对称,则a的值为()
A. 3B. 2C. 1D. -1
解法1因为函数f(x)关于直线x=1对称,所以函数f(x)与x轴的交点(-1,0)和(a,0)关于直线x=1对称.
所以=1,解之得a=3,与选择支对照选A.
解法2函数f(x)的图象关于直线x=对称,证明如下:
因为f2•+x=a-1+x+1+a-1+x-a=a+x+x-1=f(-x).
所以f(x)关于直线x=对称.
由已知=1,所以a=3,选A.
注:(1)函数f(x)=ax-b+ax-c(a≠0)的图象关于直线x=对称(证明与例3类似,本文从略);(2)通过增加绝对值符号或改变函数形式等,可以研究更复杂情形下该类函数(含有绝对值符号)的对称性问题,请读者朋友尝试.
在解题中“特殊化”是需要的,但解题不能只是停留在“特殊化”的层面,更不能仅仅满足于“特殊化”. 在解题学习与解题研究中,主动探索一般性的解法以及适当的推广、引申等应该成为解题者的自觉追求!
推荐访问： 特殊化 停留