打开文本图片集
摘 要：通过对Waterbomb铺嵌模型的结构分析，提出双弯曲质点弹簧系统并对其进行模拟。根据与棱相邻的三角形面片是否对称，将Waterbomb铺嵌模型的非边界棱（边）归为两类，建立两类弯曲弹簧，设置不同的弯曲弹性系数，该质点弹簧系统被称为双弯曲质点弹簧系统。然后运用隐式欧拉法和块坐标下降法求解最小化问题，得到下一时刻物体运动变形的速度和位置，实现对Waterbomb铺嵌模型快速、稳定和准确的模拟。实验证明，在误差允许范围内，该算法速度快于牛顿法。相比单弯曲（基本）系统，双弯曲质点弹簧系统提升了模拟稳定性、真实性，并减小了误差。
关键词：质点弹簧系统;弹性变形模拟;薄壳;Waterbomb折纸铺嵌;双弯曲质点弹簧系统
DOI：10. 11907/rjdk. 181788
中图分类号：TP317.4文献标识码：A文章编号：1672-7800（2019）001-0186-06
Abstract：According to the analysis of waterbomb tessellation model structure， bi-bending mass-spring system is proposed to simulate waterbomb tessellation. According to the symmetry of the triangular facets adjacent to the edge， the non boundary edges of the waterbomb tessellation model are classified into two classes， and two kinds of bending springs are established with different bending elasticity coefficients. This mass-spring system is called the bi-bending mass-spring system. Then， we use the implicit Euler method and solve the minimization problem by block coordinate descent method （also known as alternating optimization） to get the velocity and position of the movement and deformation of the object at the next time. This paper realizes the fast， stable and accurate simulation of waterbomb tessellation model. Within the allowable error range， the algorithm is faster than Newton’s method. Compared with the single bending （basic） system， the bi-bending mass-spring system further improves the stability and realism of the simulation and reduces the error.
0 引言
基于物理的模拟方法符合客观物体运动和变形规律，能够很好地保持运动和变形的真实性。在基于物理的模拟中，模型的表示方法包括质点弹簧模型、有限元模型、无网格表达等。质点弹簧模型由一系列质点和连接各个质点的弹簧构成，是一种最简单的弹性体模拟方法，在图形学中得到了快速发展。不同种类的弹簧具有不同特性。
在图形学的物理模拟中，薄壳容易弯曲、宽度与厚度之比大于100，在未变形状态下是弯曲的结构[1]。而与之相对的薄板在未受力状态下是平整的。常见的薄壳结构有轿车外壳、草帽、纸张、鸡蛋壳、树叶等。
纸张本身是刚性的薄壳结构。当纸张被折叠，形成具有负泊松比的铺嵌模型时，纸张整体便具有了弹性，成为柔性曲面，可形成各种形状。折纸（Origami）既是一种古老的艺术形式，又是一种很好的娱乐方式。人们可以通过折纸艺术将具有水密性的硬质材料如纸张、金属等通过弯曲或折叠形成复杂的三维形状。
拼嵌模式包括waterbomb tessellation、Miura-ori、Yoshimura pattern、Resch"s pattern、Curved folding、Huffman"s Origami Tessellations等。Waterbomb样模铺嵌或水雷铺嵌是应用最广泛的折纸图案之一。它是基于三角形可平面折叠的图案模式，具有周期对称，泊松比为负，属于具有各向异性的拉涨材料[2]。Waterbomb样模铺嵌的负泊松比特性通过刚性的完整纸张折叠得到，无需通过剪切实现。Waterbomb样模分为六折痕样模和八折痕样模[3]，两种样模可形成不同的铺嵌模型。由于曲面既有凹点也有凸点，因此Waterbomb铺嵌具有足够的柔性，可形成多种折纸图案[4]。
1 相关工作
质点弹簧模型原理简单，易于操作，在更加注重模拟速度和稳定性、而不十分注重模拟精度的实时模拟中应用广泛。2009年，Lu等[5]用双层质点弹簧系统对植物叶片进行模拟。2013年，刘雪梅等[6]基于粘弹性力学模型耦合无网格伽辽金与质点弹簧对软组织进行形变仿真，在大变形和拓扑改变区域使用无网格伽辽金法，其它区域使用质点弹簧法，两个区域之间建立过渡单元。高精度及与拓扑无关的无网格伽辽金法与高效简单的质点弹簧组合的方式有效解决了精度与效率平衡的问题，实现了高精度实时形变仿真。2013年，陈瑛等[7]根据织物拉伸形变过程中受力与形变程度的非线性关系特征，提出分段线性化弹性系数的改进质点弹簧模型，解决了织物模拟中超弹性的问题，提高了模拟真实感。2013年，Liu等[8]将隐式欧拉方法转换为能量最小化问题，并引入弹簧方向作为辅助未知变量，用块下降法对最小化问题进行求解，实现了对质点弹簧系统的快速实时模拟。2015年，王崴等[9]对绳索形变进行模拟，将传统正方形质点弹簧网格进行改进，提出一种蜂窝状的弹簧质点模型，利用Verlet-梯形预测-校正法进行数值積分以求得下一时刻速度和位置。实验结果表明，蜂窝状质点弹簧模型有效，算法提高了计算效率和精确度。2017年，王舒珍等[10]在传统四边形模型的基础上对质点弹簧模型进行改进，去除剪切弹簧，以结构弹簧代替，对软组织形变进行模拟。
推荐访问： 质点 弯曲 弹簧 模拟 快速